工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（３）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」での結論は、

Ｍ／Ｇ／ｓの定常状態確率 $p(k)$ の近似式は

[tex:k

$p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)

ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)

$k{\ge}s$ の時

$p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(3)

ただし

$b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(15)

$\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

というものでした。これと以前「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」で導いた式(3)と(14)（ここでは番号を振り直して(15)(16)とします。）

$p(0)=1-u$ ・・・・(15)
の時
- $p(k){\approx}\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^k$ ・・・・(16)

と整合性が取れているのかどうか確認しておきます。まずＭ／Ｇ／１では $s=1$ です。ですので式(15)はＭ／Ｇ／ｓの式で言えば[tex:k

$p(0){\approx}p(0)$ ・・・・(16)

となってあたりまえの式に（意味のない式に）なってしまいます。式(2)から $p(0)$ を求めると

- $=\frac{1}{1+\frac{u}{1-u}}=\frac{1-u}{1-u+u}=1-u$

となって式(15)に一致します。一方、式(3)のほうですが、式(3)を求める前に式(5)を計算しておきます。 $s=1$ の時、式(5)は

- $=\frac{\frac{u}{1-u}}{1+\frac{u}{1-u}}=\frac{u}{1-u+u}=u$

つまり

$\Pi_{M/M/s}=u$ ・・・・(17)

となり、式(3)は

$p(k){\approx}b^{k-1}(1-b)u$ ・・・・(18)

となります。ところで「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」で式(14)の少し前の番号を振っていない式に

$p(k){\approx}p(1)b^{k-1}=u(1-b)\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^{k-1}$ ・・・・(19)

とありますから、これを式(15)と一緒に考えれば式(19)は式(18)に一致することがわかります。よって「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」での結論と「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」での結論は整合が取れていることが分かります。