クローズド待ち行列ネットワークの基礎 - 工場統計力学（建設中！）

クローズド待ち行列ネットワークでは、ジョブの到着は外部から与えられることはないので、到着分布を指定することはありません。クローズド待ち行列ネットワークを構成する各ステーションへのジョブの到着は、他のステーションからの出発過程として、あるいは、その分岐として、あるいはその合流として、自然に定まります。よってクローズド待ち行列ネットワークで前提条件として与えられるのは、各ステーションの装置台数や、装置処理時間の分布、ジョブ・クラス毎のジョブのラウティング、ジョブ・クラス毎のネットワーク内に存在するジョブの数です。各ステーションへのジョブ・クラス毎のジョブの流入量、つまりスループットも前提条件として与えられるのではなく、ネットワーク内に存在するジョブ数などを指定した結果として定まる量です。

クローズド待ち行列ネットワークの中で解析が簡単なのは、全ての装置の処理時間が指数分布であるものです。さらにジョブ・クラスが１つであるものがより解析が簡単です。これをクローズド・ジャクソン・ネットワークと呼ぶことにします。以下、クローズド・ジャクソン・ネットワークについて、その性質を調べていきます。

クローズド・ジャクソン・ネットワークのステーションの数を $N$ とします。ステーション $i$ の装置台数を $m_i$ で表します。ステーション $i$ を終えたジョブがステーション $j$ に進む確率を $r_{ij}$ で表します。ステーション $i$ のスループットを $\theta_i$ で表します。そうすると、ステーション $j$ に入ってくる量 $\theta_j$ は

$\theta_j=\Bigsum_{i=1}^N\theta_ir_{ij}$ ・・・・(1)

で表すことが出来ます。式(1)は $\theta$ についての連立一次方程式になっています。これを満足する $\theta$ を

$\theta_j=f_j(R)$ ・・・・(2)

と表わすことにします。ただし $R$ は $(r_{ij})$ を簡略的に表わしたものとします。さて $a$ を任意の定数として、式(1)で

$\theta_i$ → $a\theta_i$

で置き換えると、やはり式(1)が成り立ちます。つまり式(1)では $\theta$ は一意には決まらず、定数 $a$ が不定になります。

ステーション $i$ の装置の処理時間の平均値を $t_{ei}$ で表します。ステーション $i$ の装置の利用率を $u_i$ で表します。するとスループットの定義より

$\theta_i=\frac{m_iu_i}{t_{ei}}$ ・・・・(3)

が成り立ちます。

また、ステーション $i$ に存在するジョブの個数を $k_i$ で表します。クローズド・ジャクソン・ネットワークの状態は、オープン・ジャクソン・ネットワークと同様、各ステーションに存在するジョブの個数の組、つまり $(k_1,k_2,...,k_N)$ として表されます。 $(k_1,k_2,...,k_N)$ をベクトルと考えて $\vec{k}$ で表すことにします。