工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（３）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（２）」の最後で私は

$\Omega_{GI/G/s}{\approx}\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(19)

を言うことが出来れば $CT_q$ の近似式を得ることが出来るのですが、式(19)が言えるのかどうか、今の私には分かりません。

と書いたのですが、その後、上の式(19)は一般には成り立たないことが分かりました。それを示すにはＤ／Ｄ／ｓ待ち行列を考えればよいです。
Ｄ／Ｄ／ｓはもちろんＧＩ／Ｇ／ｓの一種です。そして、Ｄ／Ｄ／ｓ待ち行列で、任意の時刻に全ての装置が処理中である確率 $\Omega_{D/D/s}$ は次のようにして考えれば、求めることが出来ます。まず、例としてＤ／Ｄ／３待ち行列を考えてみます。もし、稼働率 $u$ が $u=2/3$ であるならば、３台の装置の処理状態を示すガントチャートは以下のようになります。

上の図で水色のところが処理中の時間を示しています。これを注意深く見ると、下のパターンの繰り返しであることが分かります。

上の図を見ると３台の装置が全て処理中である時刻はまったく存在しないことが分かります。つまり $u=2/3$ の時、 $\Omega_{D/D/3}=0$ です。次に $u$ が $2/3$ よりも小さかったとしましょう。その場合に上と同じような図を描いてみると下の図になります。

この場合も３台の装置が全て処理中であるような瞬間はありません。よって $u{\le}2/3$ の時、 $\Omega_{D/D/3}=0$ であることが分かります。次に $u>2/3$ の場合を考えます。今度は図は以下のようになります。

この場合、３台の装置が同時に処理中である瞬間があります。全体の時間に対する３台の装置が同時に処理中である時間の割合は、図をよく見て考えると

$(u-2/3)*3=3u-2$

であることが分かります。つまり、 $u>2/3$ の時

$\Omega_{D/D/3}=3u-2$

です。これらのことをまとめて書くと

$\Omega_{D/D/3}=\max(3u-2,0)$ ・・・・(20)

となります。これをグラフに表すと

となります。これは明らかに $\Pi_{M/M/3}$ とは異なります。 $\Omega_{D/D/3}$ と $\Pi_{M/M/3}$ のグラフを重ねてみると以下のようになります。

よって式(19)は成り立ちません。