工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（５）

待ち行列理論

分布の種類と稼働率が同じであれば、 $b$ の値は同じであるので、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（４）」の式(27)

$CT_q(GI/M/s)=\Pi(GI/M/s)\frac{1}{s(1-b)}t_e$ ・・・・(27)

で $s=1$ と置くと

$CT_q(GI/M/1)=\Pi(GI/M/1)\frac{1}{1-b}t_e$ ・・・・(33)

式(27)の両辺を式(33)の両辺で割ると、式(27)と(33)で $b$ の値や $t_e$ の値が同じであることに注意すれば、

$\frac{CT_q(GI/M/s)}{CT_q(GI/M/1)}=\frac{\Pi(GI/M/s)}{\Pi(GI/M/1)}\frac{1}{s}$

よって

$CT_q(GI/M/s)=CT_q(GI/M/1)\frac{\Pi(GI/M/s)}{s\Pi(GI/M/1)}$ ・・・・(34)

ところで時間平均で全ての装置がふさがっている確率 $\Omega(GI/M/s)$ は

$\Omega(GI/M/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$ ・・・・(35)

で計算出来ますが、式(22)

$p(k)=ub^{k-s-1}(1-b)\Pi(GI/M/s)$ 　ただし $k{\ge}s$ ・・・・(22)

を代入すれば

- $=\frac{u(1-b)}{b}\Pi(GI/M/s)\Bigsum_{k=0}^{\infty}b^k=\frac{u(1-b)}{b}\Pi(GI/M/s)\frac{1}{1-b}$
- $=\frac{u}{b}\Pi(GI/M/s)$

よって

$\Omega(GI/M/s)=\frac{u}{b}\Pi(GI/M/s)$ ・・・・(36)

これを変形して

$\Pi(GI/M/s)=\frac{b}{u}\Omega(GI/M/s)$ ・・・・(37)

これを式(34)に代入すれば

$CT_q(GI/M/s)=CT_q(GI/M/1)\frac{\frac{b}{u}\Omega(GI/M/s)}{s\frac{b}{u}\Omega(GI/M/1)}$

よって

$CT_q(GI/M/s)=CT_q(GI/M/1)\frac{\Omega(GI/M/s)}{s\Omega(GI/M/1)}$

ここで $\Omega(GI/M/1)=u$ であることに注意すれば

$CT_q(GI/M/s)=CT_q(GI/M/1)\frac{\Omega(GI/M/s)}{su}$ ・・・・(38)

これが「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（４）」の始めに予告した「 $CT_q(GI/M/s)$ と $CT_q(GI/M/1)$ の関係」です。

これを $E_2/M/s$ に適用すれば、

$CT_q(E_2/M/s)=CT_q(E_2/M/1)\frac{\Omega(E_2/M/s)}{su}$ ・・・・(39)

となります。次に $CT_q(E_2/M/1)$ を近似的に求めます。またしてもPageの近似式

$CT_q(GI/G/s){\approx}c_a^2c_e^2CT_q(M/M/s)+c_a^2(1-c_e^2)CT_q(M/D/s)+c_e^2(1-c_a^2)CT_q(D/M/s)$ ・・・・(2)

を用います。この式を $E_2/M/1$ に適用すると

$CT_q(E_2/M/1){\approx}\frac{1}{2}CT_q(M/M/1)+\frac{1}{2}CT_q(D/M/1)$

よって

$CT_q(E_2/M/1){\approx}\frac{u}{2(1-u)}t_e+\frac{1}{2}CT_q(D/M/1)$ ・・・・(40)

ここで「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の近似式」の式(6)（ここでは番号を振り直して式(41)とします）

$CT_q(D/M/1){\approx}\frac{u^2}{2(1-u)}t_e$ ・・・・(41)

を用いれば式(40)は

$CT_q(E_2/M/1){\approx}\frac{u}{2(1-u)}t_e+\frac{1}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}t_e$

よって

$CT_q(E_2/M/1){\approx}\frac{u(u+2)}{4(1-u)}t_e$ ・・・・(42)

これを式(39)に代入して

$CT_q(E_2/M/s){\approx}\Omega(E_2/M/s)\frac{u+2}{4s(1-u)}t_e$ ・・・・(37)

よって $\Omega(E_2/M/s)$ を求めることが出来れば近似的に $CT_q(E_2/M/s)$ を求めることが出来ます。