ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（８）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（７）」の最後に示した $\Omega_(E_2/M/2)$ の近似値

グラフ１

には、残念ながら明らかにおかしい点があります。それは $u\rightar{1}$ で $\Omega_(E_2/M/2)\rightar{1}$ にならないことです。 $u=1$ ならば装置は常に処理中なのですから、２台の装置が同時に処理中である確率も１になるはずです。ところが上のグラフではそうはなっていません。その理由は「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（６）」で待ち行列システム内にジョブが１１個以上ある確率をゼロとみなしたことにあります。 $u\rightar{1}$ になれば、ジョブが１１個以上ある確率を無視できなくなります。かといって、無視しないジョブ数を１０より増やしていくと、連立一次方程式の数が増加し、Excelで取り扱うのが面倒になっていきます。そこで、１１個以上ジョブが存在する状態の定常状態確率を無視したまま、 $u\rightar{1}$ で $\Omega_(E_2/M/2)\rightar{1}$ になるような $\Omega_(E_2/M/2)$ の近似値を求める方法を考えました。それは、今の近似では $p(0,0)$ 、 $p(1,0)$ 、 $p(0,1)$ 、 $p(1,1)$ の絶対値は $u\rightar{1}$ で精度が悪くなるが、それらの間の比率はほぼ正しい、とみなす方法です。そして、 $p(0,0)$ 、 $p(1,0)$ 、 $p(0,1)$ 、 $p(1,1)$ と $u$ の間に

$1-u=p(0,0)+p(1,0)+\frac{1}{2}[p(1,0)+p(1,1)]$ ・・・・(86)

という関係があることを利用し、式(86)を満足するように $p(0,0)$ 、 $p(1,0)$ 、 $p(0,1)$ 、 $p(1,1)$ の値に同一の係数をかけます。式(86)が成り立つ理由は以下のとおりです。まず、待ち行列システム内にジョブが $k$ 個ある、時間平均での確率を $p(k)$ で表すと