ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１１）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１０）」の最後に

  • CT_q(D/M/s){\approx}\Pi(M/M/s)\frac{u}{2s(1-u)}t_e・・・・(104)

を導きました。これを「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（２）」の式(4)

  • CT_q(GI/G/s){\approx}\frac{c_a^2(1+c_e^2)}{2}CT_q(M/M/s)+c_e^2(1-c_a^2)CT_q(D/M/s)・・・・(4)

に代入すれば

  • CT_q(GI/G/s){\approx}\frac{c_a^2(1+c_e^2)}{2}CT_q(M/M/s)+c_e^2(1-c_a^2)\Pi(M/M/s)\frac{u}{2s(1-u)}t_e・・・・(106)

さらに式(106)に
「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（２）」の式(11)

  • CT_q(M/M/s)=\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e・・・・(11)

を代入すれば

  • CT_q(GI/G/s){\approx}\frac{c_a^2(1+c_e^2)}{2}\Pi(M/M/s)\frac{1}{s(1-u)}t_e+c_e^2(1-c_a^2)\Pi(M/M/s)\frac{u}{2s(1-u)}t_e
    • =\frac{c_a^2(1+c_e^2)+c_e^2(1-c_a^2)u}{2}\Pi(M/M/s)\frac{1}{s(1-u)}t_e
    • =\frac{c_a^2+c_e^2c_a^2+c_e^2u-c_e^2c_a^2u}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e
    • =\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2+u-c_a^2u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e
    • =\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e

よって

  • CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e・・・・(1)

が証明されました。


さて、式(1)ですが、式(11)を用いれば

  • CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}CT_q(M/M/s)・・・・(107)

と書くことも出来ます。