長年の疑問が解けた！ - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１１）」で出した結論、つまり、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の式（ちなみにＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列とは一般の待ち行列のこと）

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(1)

は、私が長年、追い求めていた結論です。これは古典力学におけるニュートンの方程式のように（というのは大げさか）工場統計力学の基礎公式になるものです。
自分のブログを調べてみると少なくとも２００７年２月１日のエントリー「Kingmanの近似式とその拡張」を書いた時にこの式の導出方法をあれこれ考え始めていました。ちょっと、式(1)とは異なった書き方をしていますが、その時はこのように書きました。

（２）は式（１）（Kingmanの近似式）とＭ／Ｍ／１の時の式（３）を見比べて、さらに（３）と逆瀬川の近似式（６）とを見比べて類推したものです。Factory Physicsはその類推を正当化する記述をしていません。

「Factory Physicsはその類推を正当化する記述をしていません。」というところに、当時の私の不満が表現されています。さて、上の引用では「（２）は」とか「式（１）」とか書いてあるので、それらの式についての記述も引用しておきます。

ところがFactory Physicsでは、このＧＩ／Ｇ／ｍの待ち行列の待ち時間を算出する近似式としてKingmanの式というものと、その拡張を載せています。Kingmanの式とはＧＩ／Ｇ／１の場合のための近似式で、以下のものです。

$CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・（１）

（導出方法については「Kingmanの近似式の導出」を参照）

さらにそれをｍ台装置がある場合に拡張した式として（すなわちＧＩ／Ｇ／ｍの場合の近似式として）Factory Physicsでは

$CT_q=\left(\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\right)\frac{u^{sqrt{2(m+1)}-1}}{m(1-u)}t_e$ ・・・・（２）

という式を紹介しています。

Ｍ／Ｍ／１では

$CT_q=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・（３）

ところが、世の中には逆瀬川氏（早稲田大学教授http://www.sakasega.mgmt.waseda.ac.jp/）の提案になる近似式というものがあるということをFactory Physicsは紹介していました。それが

$CT_q=\frac{u^{sqrt{2(m+1)}-1}}{m(1-u)}t_e$ ・・・・（６）

です。

今回、私が何とか綱渡りで（厳密な証明ではありませんが）結論に達した式(1)は引用中の式（２）にあたるものです。ただ、式（２）には利点があって、それは冒頭の式(1)に比べて計算がし易いという点です。その利点を取り込むことについてはまた、別のエントリーで検討しようと思っています。

今日のこのエントリーは、技術的な記述ではなく、単に「長年（４年以上）の疑問が解けたよお！」という私の雄叫びをお伝えする目的のエントリーでした。石の上にも４年ですね。