ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１２）

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(1)

は、「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち確率Πの近似」の式(10)（ここでは番号を振り直して式(2)とします）

$\Pi(M/M/s){\approx}u^{\sqrt{2(m+1)}-1}$ ・・・・(2)

を用いれば、さらに計算が簡単になります。というのは $\Pi(M/M/s)$ は

$\Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(3)

を用いれば近似ではなく厳密な値を計算出来るのですが、計算が面倒で、特にExcelで計算する時に面倒だからです。そこで式(2)を使うと若干精度が落ちますが計算が簡単になります。もともと式(1)が近似式なので、ここで式(2)を用いても実用上それほど問題なさそうな気がします。そこで式(2)を(1)に代入して

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{u^{\sqrt{2(m+1)}-1}}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(4)

という式を作ります。この式(4)をＤ／Ｍ／ｓに適用した場合の精度を調べてみます。Ｄ／Ｍ／ｓに式(4)を適用すると、 $c_a=0$ 、 $c_e=1$ ですから、

$CT_q(D/M/s)\approx\frac{u}{2}\frac{u^{\sqrt{2(m+1)}-1}}{s(1-u)}t_e$

よって

$CT_q(D/M/s)\approx\frac{u^{\sqrt{2(m+1)}}}{2s(1-u)}t_e$ ・・・・(5)

です。ここで「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（９）」や「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１０）」で用いた

$X_q=\frac{CT_q}{t_e}$ ・・・・(6)

を式(5)を使って求めると

$X_q(D/M/s)\approx\frac{u^{\sqrt{2(m+1)}}}{2s(1-u)}$ ・・・・(7)

となります。式(7)による $X_q$ の値を、 $s=2,3,10$ の場合について調べ、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（９）」や「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１０）」で示したグラフに重ね合わせてみます。すると以下のようになります。

上の３つのグラフで「近似３」と示したのが式(7)による値です。「近似１」が最も真の値に近いと考えられます。このことから「近似２」と「近似３」の精度はほとんど変わらないと考えることが出来ます。精度がほとんど同じであれば、式(1)よりも式(4)のほうが実用上使いやすいので、私は式(4)を推奨することにします。