ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）

ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列において、時間平均で、システム内にジョブが $k$ 個ある確率（定常状態分布）を $p(k)$ で表し、ジョブ到着時にシステム内にジョブが（その到着するジョブを除いて） $k$ 個ある確率（到着時刻状態分布）を $\pi(k)$ で表すことにします。そして、この両者の関係を求めてみます。

到着直前にシステム内のジョブが $k$ 個だった場合、ジョブ到着によって $k+1$ 個になります。この $k{\rightar}k+1$ の変化が単位時間あたり平均何回起きるか考えてみます。装置の稼働率を $u$ 、装置の平均処理時間を $t_e$ とすると、単位時間内の平均ジョブ到着数は

$\frac{su}{t_e}$ ・・・・(1)

となります。到着直前にシステム内のジョブ数が $k$ 個である確率は $\pi(k)$ になりますので、単位時間あたり $k{\rightar}k+1$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{su}{t_e}\pi(k)$ ・・・・(2)

になります。次に、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数を考えます。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個あったとしてそれが $k$ 個になるというのは、ジョブの処理が終了するということです。 $k+1{\ge}s$ の場合は、全ての装置が処理中ですから、このジョブ終了は、処理時間分布が指数分布であることを考慮すれば、単位時間あたり

$\frac{s}{t_e}$ ・・・・(3)

回になります。[tex:k+1

$\frac{k+1}{t_e}$ ・・・・(4)

回になります。式(3)と(4)をまとめると

$\frac{\min(s,k+1)}{t_e}$ ・・・・(5)

となります。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個ある確率は $p(k+1)$ なので、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{\min(s,k+1)}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(6)

となります。今、定常状態を考えていますから式(2)と式(6)は等しいはずです。よって

$\frac{su}{t_e}\pi(k)=\frac{\min(s,k+1)}{t_e}p(k+1)$
$su\pi(k)=\min(s,k+1)p(k+1)$
$\pi(k)=\frac{\min(s,k+1)}{su}p(k+1)$ ・・・・(7)

となります。これはつまり

の場合
- $\pi(k)=\frac{1}{u}p(k+1)$ ・・・・(8)
[tex:k+1
- $\pi(k)=\frac{k+1}{su}p(k+1)$ ・・・・(9)

となります。また、これらは以下のように書くことも出来ます。

の場合
- $\pi(k)=\frac{1}{u}p(k+1)$ ・・・・(10)
の場合
- $\pi(k)=\frac{k+1}{su}p(k+1)$ ・・・・(11)

ところで「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の特性（書きかけ）」で定常状態分布 $p(k)$ の近似式を

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(12)
の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi(M/M/s)$ ・・・・(13)
ただし
- $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)
- $b=\frac{(2c_a^2+[1-c_a^2]u)u}{2-(2-\{2c_a^2+[1-c_a^2]u\})u}$ ・・・・(15)