工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（２）

待ち行列理論

の場合
- $\pi(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(16)
の場合
- $\pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\Pi(M/M/s)$ ・・・・(19)
の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{b^{k+1-s}(1-b)}{u}\Pi(M/M/s)$ ・・・・(20)

あるいは

の場合
- $\pi(k)\approx\p(k)$ ・・・・(17)
の場合
- $\pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\Pi(M/M/s)$ ・・・・(19)
の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{b}{u}p(k)$ ・・・・(21)

で与えられる $\pi(k)$ の近似値が

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1$ ・・・・(22)

を満たしているかどうかを調べます。以下、 $\pi(k)$ の近似式の値をそのまま使用すると考え、 $\approx$ は全て $=$ と読み替えることにします。まず、式(17)から

$\Bigsum_{k=0}^{s-2}\pi(k)=\Bigsum_{k=0}^{s-2}p(k)$ ・・・・(23)

が成り立ちます。ところで

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(k)=1$ ・・・・(24)

は自明で成り立っており、 $\Omega(GI/M/s)$ の定義から

$\Bigsum_{k=s}^{\infty}=\Omega(GI/M/s)$ ・・・・(25)

なので、式(24)(25)から

$\Bigsum_{k=0}^{s-2}p(k)+p(s-1)+\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)=1$
$\Bigsum_{k=0}^{s-2}p(k)+p(s-1)+\Omega(GI/M/s)=1$
$\Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k)=1-\Omega(GI/M/s)-p(s-1)$

この式と式(23)から

$\Bigsum_{k=0}^{s-2}\pi(k)=1-\Omega(GI/M/s)-p(s-1)$ ・・・・(26)

となります。次に式(21)から

$\Bigsum_{k=s}^{\infty}\pi(k)=\frac{b}{u}\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$

この式と式(25)から

$\Bigsum_{k=s}^{\infty}\pi(k)=\frac{b}{u}\Omega(GI/M/s)$ ・・・・(27)

となります。式(26)(27)から

- $=1-\Omega(GI/M/s)-p(s-1)+\pi(s-1)+\frac{b}{u}\Omega(GI/M/s)=1-\frac{u-b}{u}\Omega(GI/M/s)-p(s-1)+\pi(s-1)$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1-\frac{u-b}{u}\Omega(GI/M/s)-p(s-1)+\pi(s-1)$ ・・・・(28)

一方「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」の式(12)

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(12)

から

$p(s-1)\approx\frac{(su)^{s-1}}{(s-1)!}p(0)$ ・・・・(29)

ですが、これもまた、近似式の値を（つまり右辺の値を）そのまま使用することとして、以下では $\approx$ を $=$ で読み替えます。

また、「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」の式(14)

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)

と「Ｍ／Ｍ／ｓにおける待ち確率Π」の式(7)（ここでは式(30)とします）

$\Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(30)

から

$p(0)=\frac{s!(1-u)}{(su)^s}\Pi(M/M/s)$ ・・・・(31)

となるので、式(29)と(31)から

- $=\frac{1-u}{u}\Pi(M/M/s)$

よって

$p(s-1)=\frac{1-u}{u}\Pi(M/M/s)$ ・・・・(32)

式(32)と(19)から

$-p(s-1)+\pi(s-1)=\left(-\frac{1-u}{u}+\frac{1-b}{u}\right)\Pi(M/M/s)=\frac{u-b}{u}\Pi(M/M/s)$

よって式(28)は

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1+\frac{u-b}{u}[\Pi(M/M/s)-\Omega(GI/M/s)]$ ・・・・(33)

となります。ここで「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の特性（書きかけ）」の

$\Omega(GI/M/s)\approx\Pi(M/M/s)$ ・・・・(34)

を用いると、（そしてここでも $\approx$ を $=$ で読み替えると）式(33)は

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\pi(k)=1$ ・・・・(35)

となり、目的の式に到達しました。