ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（３）

待ち行列理論

\pi(s-1)の近似式

  • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\Pi(M/M/s)・・・・(19)

については、p(s-1)を用いて表すことが出来ないか検討します。まず、「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（２）」の式(31)

  • p(0)=\frac{s!(1-u)}{(su)^s}\Pi(M/M/s)・・・・(31)

から

  • \Pi(M/M/s)=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)・・・・(36)

この式と式(19)から

  • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)=s(1-b)\frac{(su)^{s-1}}{s!(1-u)}p(0)
    • =(1-b)\frac{(su)^{s-1}}{(s-1)!(1-u)}p(0)=\frac{1-b}{1-u}\frac{(su)^{s-1}}{(s-1)!}p(0)=\frac{1-b}{1-u}p(s-1)

よって

  • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{1-u}p(s-1)・・・・(37)


まとめて書くと

  • k{\le}s-2の場合
    • \pi(k)\approx{p(k)}・・・・(17)
  • k=s-1の場合
  • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{1-u}p(s-1)・・・・(37)
  • k{\ge}sの場合
    • \pi(k){\approx}\frac{b}{u}p(k)・・・・(21)

と、なります。