ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の特性

待ち行列理論
  • 補足
    • 下記、近似式に登場する\Pi(M/M/s)は、定常状態分布p(k)を求めるのでなければ
      • \Pi(M/M/s){\approx}u^{\sqrt{2(s+1)}-1}
    • で充分。定常状態分布p(k)を求めるのであれば、以下を採用しないとkがゼロに近い場合かつuがゼロに近い場合に精度が極端に悪くなる。
      • \Pi_{M/M/s}=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}
  • 平均待ち時間CT_q(GI/M/s)
    • 近似式
    • CT_q(GI/M/s)\approx\frac{2c_a^2+(1-c_a^2)u}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e
  • 時間平均で、全ての装置がふさがっている確率\Omega(GI/M/s)
    • 近似式
    • \Omega(GI/M/s)\approx\Pi(M/M/s)
  • ジョブ到着時に、全ての装置がふさがっている確率\Pi(GI/M/s)
    • 近似式
    • \Pi(GI/M/s)\approx\frac{b}{u}\Pi(M/M/s)
    • ただし
      • b=\frac{(2c_a^2+[1-c_a^2]u)u}{2-(2-\{2c_a^2+[1-c_a^2]u\})u}
  • 定常状態分布p(k)
    • 近似式
    • [tex:k
      • p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)
    • k{\ge}sの場合
      • p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi(M/M/s)
    • ただし
      • p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}
  • 到着時刻状態分布\pi(k)
    • 近似式
    • k{\le}s-2の場合
      • \pi(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)
    • k=s-1の場合
      • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{u}\Pi(M/M/s)
    • k{\ge}sの場合
      • \pi(k){\approx}\frac{b^{k+1-s}(1-b)}{u}\Pi(M/M/s)
    • これらは以下のようにも書くことが出来る。
    • k{\le}s-2の場合
      • \pi(k)\approx{p}(k)
    • k=s-1の場合
      • \pi(s-1)\approx\frac{1-b}{1-u}p(s-1)
    • k{\ge}sの場合
      • \pi(k){\approx}\frac{b}{u}p(k)