非定常状態の待ち行列理論の試み（１） - 工場統計力学（建設中！）

私のブログを読んで下さっているある方から「待ち行列理論は定常状態しか扱うことは出来ないでしょうか」という意味の質問を頂きました。非定常状態での一般の待ち行列の振る舞いについては私はとても解析出来ませんが、Ｍ／Ｍ／１待ち行列ならば簡単なので非定常状態での振舞いを示すことが出来るかもしれません、と私は回答しました。
ここで、そのことを試みてみたいと思います。

最初（時刻 $t=0$ の時に）、ジョブがまったくないＭ／Ｍ／１待ち行列を考えてみます。時刻 $t$ の時に待ち行列システム内にジョブが $k$ 個ある確率を $p(k,t)$ で表すことにします。 $t=0$ でジョブがまったくないのですから、

$p(0,0)=1$
の時
- $p(k,0)=0$ ・・・・(1)

となります。次に $p(k,t)$ と $p(k,t+dt)$ の関係を調べます。

$k{\ge}1$ の場合、時刻[text+1]でジョブが $k$ 個あるという状況は、以下の３つの経過が考えられます。

[1]　時刻 $t$ でジョブが $k$ 個あり、 $dt$ の間に、ジョブが新たに到着もせず、処理も終了しなかった。
[2]　時刻 $t$ でジョブが $k-1$ 個あり、 $dt$ の間に、ジョブが新たに１個到着した。
[3]　時刻 $t$ でジョブが $k+1$ 個あり、 $dt$ の間に、１個のジョブの処理が終了した。

もちろん、「時刻 $t$ でジョブが $k-2$ 個あり、 $dt$ の間に、ジョブが新たに２個到着した。」ということもあり得ないわけではありませんが、期間 $dt$ が極めて短い期間であるとすると、その間にジョブが１個到着する確率すら非常に小さな値になります。ましてやその期間にジョブが２個以上到着する確率は、ジョブが１個到着する確率に比べても非常に小さな値にあると予想されます。よって、 $dt$ の間にジョブが２個以上到着する確率は無視してもかまわないと考えることが出来ます。同様にして $dt$ の間にジョブが２個以上処理終了する確率も無視します。
さて、装置の平均処理時間を $t_e$ 、稼働率を $u$ とすると、処理時間もジョブ到着間隔も指数分布であることを考えれば、 $dt$ の間に処理が完了する確率は

$\frac{dt}{t_e}$ ・・・・(2)

$dt$ の間にジョブが到着する確率は

$\frac{udt}{t_e}$ ・・・・(3)

となります。このことを用いて上記[1][2][3]を数式で表すと以下のようになります。

[1]
- $\left(1-\frac{udt}{t_e}-\frac{dt}{t_e}\right)p(k,t)$
[2]
- $\frac{udt}{t_e}p(k-1,t)$
[3]
- $\frac{dt}{t_e}p(k+1,t)$

これら３つを全て足したものが確率 $p(k,t+dt)$ になります。よって

$p(k,t+dt)=\left(1-\frac{udt}{t_e}-\frac{dt}{t_e}\right)p(k,t)+\frac{udt}{t_e}p(k-1,t)+\frac{dt}{t_e}p(k+1,t)$ ・・・・(4)

よって

$p(k,t+dt)-p(k,t)=-\left(\frac{udt}{t_e}+\frac{dt}{t_e}\right)p(k,t)+\frac{udt}{t_e}p(k-1,t)+\frac{dt}{t_e}p(k+1,t)$
$\frac{p(k,t+dt)-p(k,t)}{dt}=-\left(\frac{u}{t_e}+\frac{1}{t_e}\right)p(k,t)+\frac{u}{t_e}p(k-1,t)+\frac{1}{t_e}p(k+1,t)$
$\frac{p(k,t+dt)-p(k,t)}{dt}=\frac{1}{t_e}[-(u+1)p(k,t)+up(k-1,t)+p(k+1,t)]$