工場統計力学（建設中！）

ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（７）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（６）」での結論

$\Pi{\approx}\frac{2-(1-c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}b\Omega$ ・・・・(75)
ただし
- $b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$ ・・・・(7)
- $\Omega{\approx}\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(21)

が正しいかどうか、いくつかの既知の場合について確かめてみます。

まず、Ｍ／Ｇ／ｓの場合。 $c_a=1$ を式(7)に代入して

$b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(72)

これを式(75)に代入して

$\Pi{\approx}\frac{2-(1-c_e^2)u}{(1+c_e^2)u}\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\Omega$

よって

$\Pi{\approx}\Omega$

となって正しい近似式になっています。

次にＧＩ／Ｍ／ｓの場合。 $c_e=1$ を式(75)に代入すると

$\Pi{\approx}\frac{2}{2u}b\Omega$

よって

$\Pi{\approx}\frac{b}{u}\Omega$

となります。これは式(21)を考慮すれば「ジョブ到着時に、全ての装置がふさがっている確率」の

$\Pi\approx\frac{b}{u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(26)

と一致することが分かります。

最後にＤ／Ｄ／ｓの場合。 $c_a=1$ と $c_e=1$ を式(7)に代入すると

$b=\frac{(0+0)u}{2-(2-0-0)u}$

よって

$b=0$

これと $c_e=1$ を式(75)に代入すると

$\Pi{\approx}\frac{2-0}{(1+0)u}{\times}0{\times}\Omega$

よって

$\Pi{\approx}0$

となり、正しい値を与えます。