Ｍ／Ｍ／ｓの平均待ち時間とΠの関係式

「Πを使ってＭ／Ｇ／ｍの平均待ち行列長を表す」の式(4)を求める別のやり方を見つけましたので、書いておきます。これは「Ｍ／Ｇ／１における待ち時間の式の導出（１）」で行った方法をＭ／Ｍ／ｓに適用したものです。到着過程がポアソン過程なのでPASTAを利用出来ます。ジョブが到着した時にそのジョブが見る待ち行列長はになるはずです。これらのジョブ、つまり到着したジョブより先に待っているジョブのうち、先頭のジョブが処理を開始してから、この到着したジョブが処理開始するまでに要する時間の平均値は、装置の平均処理時間がで装置が台なので

• ・・・・(1)

になります。さらに今処理中のジョブがあります。もし、このジョブ到着時に装置が１台も空いていないとしますと、それからどれかの装置が空くまでの時間の平均値は、処理時間分布が指数分布であることを考慮すれば、

• ・・・・(2)

となります。これがすなわち「到着したジョブより先に待っているジョブのうち、先頭のジョブが処理を開始」するまでに待つ時間です。しかし、ジョブが到着した時に、いつも装置が１台も空いていないとは限りません。装置が全て処理中である確率はで表されるのでした。装置が全て処理中である場合は式(2)だけ待ちますが、１台でも空いている装置があると待ち時間はゼロです。よって、先頭のジョブが待つ平均時間は

• ・・・・(3)

になります。以上のことから、到着したジョブが処理開始を待つ平均時間は

• ・・・・(4)

となることが言えます。ここで待ち行列長をWIPとみなしてリトルの法則を適用してみます。この場合サイクルタイムは、スループットはになります。よって

• ・・・・(5)

をいうことが出来ます。式(5)を式(4)に代入すると

• 

よって

• • 
  • 
• ・・・・(6)

これは「Πを使ってＭ／Ｇ／ｍの平均待ち行列長を表す」の式(4)にほかなりません。このようにして式(6)を導くことが出来ました。