ＧＩ／Ｍ／１待ち行列のジョブのサイクルタイムの変動係数

待ち行列理論

ＧＩ／Ｍ／１待ち行列におけるジョブのサイクルタイムの変動係数を求めてみます。


「ＧＩ／Ｍ／１待ち行列の特性」の式（ここでは番号を振って式(1)とします）が示すようにジョブが待ち行列システムに到着した時、このシステムにジョブが（処理中のものと待っているものの両方を含めて）k個ある確率は、

  • p(k)=(1-b)b^k・・・・(1)
  • ただしbは
    • b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)g(t)dt・・・・(2)
    • ただしg(t)は到着間隔の確率密度関数。t_eは装置の処理時間の平均。
  • を満たすもの

になります。


まず、ジョブが到着した時、システム内にジョブがk個ある場合の、この到着したジョブのサイクルタイムは確率的に変動するので確率変数CT_kで表します。そうするとその平均は

  • E(CT_k)=(k+1)t_e・・・・(3)

で表され、その分散は

  • V(CT_k)=(k+1)t_e^2・・・・(4)

で表されます。
さて、ジョブが到着した時、システム内にジョブがk個ある確率は式(1)で与えられるので、全ての場合に渡って平均をとった、ジョブのサイクルタイムの平均E(CT)は、式(1)と(3)から

  • E(CT)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(k)E(CT_k)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}(1-b)b^k(k+1)t_e=(1-b)t_e\Bigsum_{k=0}^{\infty}(k+1)b^k
    • =(1-b)t_e\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^{k-1}

ここで「補足」の式(2)を用いれば、

  • (1-b)t_e\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^{k-1}=(1-b)t_e\frac{1}{(1-b)^2}=\frac{t_e}{1-b}

よって

  • E(CT)=\frac{t_e}{1-b}・・・・(5)


同様にして全ての場合に渡ってのサイクルタイムの分散を求めます。そのためにまず、全ての場合に渡っての２乗平均を求めます。ジョブが到着した時、システム内にジョブがk個ある場合のCT_kの２乗平均E(CT_k^2は

  • E(CT_k^2)=V(CT_k)+E(CT_k)^2=(k+1)t_e^2+(k+1)^2t_e^2=(k+2)(k+1)t_e^2・・・・(6)

で求めることが出来ます。この値を全ての場合に渡って平均します。

  • E(CT^2)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}p(k)E(CT_k^2)=\Bigsum_{k=0}^{\infty}(1-b)b^k(k+2)(k+1)t_e^2=(1-b)t_e^2\Bigsum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)b^k
    • =(1-b)t_e^2\Bigsum_{k=2}^{\infty}k(k-1)b^k-2

ここで「補足」の式(3)を用いれば、

  • (1-b)t_e^2\Bigsum_{k=2}^{\infty}k(k-1)b^k-2=(1-b)t_e^2\frac{2}{(1-b)^3}=\frac{2t_e^2}{(1-b)^2}

よって

  • E(CT^2)=\frac{2t_e^2}{(1-b)^2}・・・・(7)

サイクルタイムの分散V(CT)は式(5)と(7)から求めることが出来ます。

  • V(CT)=E(CT^2)-E(CT)^2=\frac{2t_e^2}{(1-b)^2}-\frac{t_e^2}{(1-b)^2}=\frac{t_e^2}{(1-b)^2}・・・・(8)

よってCTの標準偏差SD(CT)は

  • SD(CT)=\frac{t_e}{1-b}・・・・(9)

式(5)と(9)から変動係数cは、

  • c=\frac{SD(CT)}{E(CT)}=\frac{t_e}{1-b}\frac{1-b}{t_e}=1

つまり

  • c=1・・・・(10)

となります。