工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列のサイクルタイムの変動係数（２）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列のサイクルタイムの変動係数（１）」の続きです。
さて、個々の場合の平均は加重平均することで全体の平均を求めることが出来ましたが、変動のほうは平均のように加重平均することが出来ません。そこで変動の代わりに二乗平均を加重平均することにします。すなわち

$E(CT^2)={\Pi}E(CT_f^2)+(1-\Pi)E(CT_e^2)$ ・・・・(14)

です。この式(14)は成り立ちます。式(14)を利用するために、変動と平均と二乗平均の関係式を用います。すなわち

$E(CT_f^2)=V(CT_f)+E(CT_f)^2$ ・・・・(15)
$E(CT_e^2)=V(CT_e)+E(CT_e)^2$ ・・・・(16)
$E(CT^2)=V(CT)+E(CT)^2$ ・・・・(17)

です。式(15)(8)(9)から

- $=\frac{t_e^2}{s^2(1-u)^2}+t_e^2+\frac{t_e^2}{s^2(1-u)^2}+\frac{2t_e^2}{s(1-u)}+t_e^2$
- $=\frac{2t_e^2}{s^2(1-u)^2}+\frac{2t_e^2}{s(1-u)}+2t_e^2$
- $=2t_e^2\left[\frac{1}{s^2(1-u)^2}+\frac{1}{s(1-u)}+1\right]$

よって

$E(CT_f^2)=2t_e^2\left[\frac{1}{s^2(1-u)^2}+\frac{1}{s(1-u)}+1\right]$ ・・・・(18)

式(16)(10)(11)から

$E(CT_e^2)=t_e^2+t_e^2$

よって

$E(CT_e^2)=2t_e^2$ ・・・・(19)

式(14)(18)(19)から

$E(CT^2)=2t_e^2\left[\frac{\Pi}{s^2(1-u)^2}+\frac{\Pi}{s(1-u)}+\Pi+(1-\Pi)\right]$

よって

$E(CT^2)=2t_e^2\left[\frac{\Pi}{s^2(1-u)^2}+\frac{\Pi}{s(1-u)}+1\right]$ ・・・・(20)

一方、式(17)から

$V(CT)=E(CT^2)-E(CT)^2$ ・・・・(21)

式(21)に式(20)(13)を代入して

- $=2t_e^2\left[\frac{\Pi}{s^2(1-u)^2}+\frac{\Pi}{s(1-u)}+1\right]-t_e^2\left[\frac{\Pi^2}{s^2(1-u)^2}+\frac{2\Pi}{s(1-u)}+1\right]$
- $=t_e^2\left[\frac{2\Pi}{s^2(1-u)^2}+\frac{2\Pi}{s(1-u)}+2-\frac{\Pi^2}{s^2(1-u)^2}-\frac{2\Pi}{s(1-u)}-1\right]$
- $=t_e^2\left[\frac{2\Pi-\Pi^2}{s^2(1-u)^2}+1\right]$
- $=\frac{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}{s^2(1-u)^2}t_e^2$

よって

$V(CT)=\frac{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}{s^2(1-u)^2}t_e^2$ ・・・・(22)

ここで $CT$ の標準偏差を $SD(CT)$ で表すと

$SD(CT)=\frac{\sqrt{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(23)

よって変動係数 $c$ は

- $=\frac{\sqrt{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}}{s(1-u)}\frac{1}{\frac{\Pi}{s(1-u)}+1}$
- $=\sqrt{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}\frac{1}{\Pi+s(1-u)}$
- $=\frac{\sqrt{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}}{\Pi+s(1-u)}$

よって

$c=\frac{\sqrt{2\Pi-\Pi^2+s^2(1-u)^2}}{\Pi+s(1-u)}$ ・・・・(24)

これでＭ／Ｍ／ｓのサイクルタイムの変動係数を求めることが出来ました。しかし、あまりきれいな式ではありませんでした。