Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布の近似 - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間分布の近似（１）」での考察をＭ／Ｇ／ｓの場合に拡張してみましょう。

「Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列の待ち時間分布」の式(10)ではＭ／Ｍ／１待ち行列の待ち時間の累積確率分布を（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

$F_q(t)=1-\Pi\exp\left(-\frac{(1-u)st}{t_e}\right)$ ・・・・(1)

と求めることが出来ました。これをＭ／Ｍ／１の場合の待ち時間の累積確率分布（「待ち時間制約（２）」の式(7)参照。ここでは番号を振り直して式(2)とします）

$F_q(t)=1-u\exp\left(-\frac{(1-u)t}{t_e}\right)$ ・・・・(2)

と比較すると、 $\exp$ の前の $u$ が $\Pi$ に置き換わり、 $\exp$ の中の $(1-u)$ が $(1-u)s$ に置き換わっただけです。このことから類推して、Ｍ／Ｇ／１の場合の待ち時間の累積確率分布（「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間分布の近似（１）」の式(9)参照。ここでは番号を振り直して式(3)とします）

$F_q(t){\approx}1-u\exp\left(-\frac{2(1-u)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(3)

をＭ／Ｇ／ｓに拡張した場合の式を

$F_q(t){\approx}1-\Pi\exp\left(-\frac{2(1-u)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(4)

と想定します。すると、 $t>0$ の時の待ち時間の確率密度関数 $f_q(t)$ は、式(4)を $t$ で微分して

$f_q(t){\approx}\frac{2(1-u)s}{(1+c_e^2)t_e}\Pi\exp\left(-\frac{2(1-u)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(5)

となります。この $f_q(t)$ は指数分布に $\Pi$ を掛けた形になっていますので、待ち時間 $t$ の平均値 $CT_q$ は簡単に求めることが出来て

$CT_q{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}\frac{\Pi}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(6)

になり、「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の特性」で示したＭ／Ｇ／ｓの $CT_q$ の式に一致します。さらに、式(4)から

$F_q(0)=1-\Pi$ ・・・・(7)

となりますが、これはジョブの到着時、待ちのない確率が $1-\Pi$ であることを示しています。つまり、ジョブの到着時に装置が全てふさがっている確率は

$\Pi$ ・・・・(8)

になり、これも「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の特性」で示した式に一致します。さらに、 $t\rightar{\infty}$ で $F_q(t)\rightar{1}$ になることも累積確率分布としての正当性を示しています。
最後にＭ／Ｄ／ｓについても式(4)が妥当な近似式であることを示します。 $t$ の値として $t=kt_e$ （ただし $k=0,1,2,3...$ ）の場合のみを取り上げてF_q(t)の値を考察します。あるジョブが到着した際にシステム内にジョブが $s(k+1)-1$ 個以下ならば、到着したジョブの待ち時間は $kt_e$ 以下になります。逆に到着したジョブの待ち時間が $kt_e$ 以下であるならば自分が処理を開始するまでに処理完了するジョブの数は１装置あたり $k$ 個以下であり、他の装置も含めると全部で $sk$ 個以下です。自分が処理開始する際にまだ処理中のジョブが多くて $s-1$ 個あるので、自分の前には多くて $sk+s-1$ 個、すなわち $s(k+1)-1$ 個のジョブが到着時にあったことになります。よって、 $F_q(kt_e)$ は、到着時にシステム内にジョブが $s(k+1)-1$ 個以下である確率に等しくなります。到着過程はポアソン過程なのでPASTAを用いることが出来て、この確率は時間平均でシステム内にジョブが $s(k+1)-1$ 以下存在する確率に等しくなります。Ｍ／Ｄ／ｓでジョブが $m$ 個存在する確率 $p(m)$ は「Ｍ／Ｄ／ｓ待ち行列の定常状態分布の近似（２）」の式(8)により近似的に

$\Bigsum_{m=0}^{s-1}p(m){\approx}1-\Pi$ ・・・・(9)
の場合
- $p(m){\approx}\Pi(1-b)b^{m-1}$ ・・・・(10)
- ただし
  - $b=\frac{u}{2-u}$ ・・・・(11)

なので、ジョブがシステム内に $s(k+1)-1$ 個以下存在する確率は

$\Bigsum_{m=0}^{s(k+1)-1}p(m)$

になります。よって

- $=1-\Pi+\Bigsum_{m=s}^{sk+s-1}\Pi(1-b)b^{m-1}=1-\Pi+\Bigsum_{m=1}^{sk}\Pi(1-b)b^{m-1}$
- $=1-\Pi+\Pi(1-b)\Bigsum_{m=1}^{sk}b^{m-1}=1-\Pi+\Pi(1-b)\frac{1-b^{sk}}{1-b}=1-\Pi+\Pi(1-b^{sk})$
- $=1-{\Pi}b^{sk}$