ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の分布の近似式の再考（１）

「「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（１１）」の続きです。
さて、話を「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」に戻します。というと、あまりに昔のことなので、私のこのブログを丹念に読んでくださっている方でも「えっ！」と驚くかもしれませんが、最近の話題はここからの大きな脱線だったのでした。本来は、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の累積確率分布を求めるのが目的でした。
さて、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」ではＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の累積確率分布 $F_q(t)$ を式(3)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

$F_q(t){\approx}1-\frac{b\Pi}{u}\exp\left(-\frac{2(1-b)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(1)

のように推定したのでした。 $b$ の値にKraemer・Lagenbach-Belz近似式

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(2)
の時
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+c_a^2+uc_e^2}{1+u(c_e^2-1)+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(3)
の時
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(4)

を採用することによって、この式にどのような影響がおよぼされるかこれらか検討します。

まず、Kraemer・Lagenbach-Belz近似式はGI/G/sのためのものではなくGI/G/1のためのものであることに注意しなければなりません。そこで直接影響が出るのは式(1)で $s=1$ の場合です。よって式(1)に $s=1$ を代入した

$F_q(t){\approx}1-b\exp\left(-\frac{2}{1+c_e^2}\frac{(1-b)t}{t_e}\right)$ ・・・・(5)

を検討します。この式で $b$ としてKraemer・Lagenbach-Belz近似式(2)(3)(4)の計算結果を採用するとした場合、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」での考察と矛盾が生じます。「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」では、式(1)から平均待ち時間 $CT_q$ を

$CT_q=\frac{b\Pi}{u}\frac{1+c_e^2}{2}\frac{1}{s(1-b)}t_e$ ・・・・(6)

と導出し、それを $CT_q$ に関する私の近似式

$CT_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{\Pi}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(7)

と等しいと置いて、 $b$ を求めたのでした。しかし今回 $b$ はKraemer・Lagenbach-Belz近似式から求めるので式(1)の $\exp(\cdot)$ の中は別に

$-\frac{2}{1+c_e^2}\frac{(1-b)st}{t_e}$

であると主張する必要はありません。これはＧＩ／Ｍ／ｓの待ち時間分布とＭ／Ｇ／ｓの待ち時間分布の形から推測したものであって、若干根拠に弱いところがあります。ですから、むしろ $\exp(\cdot)$ の中を $-At$ と置いて、 $A$ を $CT_q$ との関係から求めたほうがより根拠のある近似になることでしょう。ＧＩ／Ｇ／１の場合に戻って考察すると式(5)は

$F_q(t){\approx}1-b\exp(-At)$ ・・・・(8)

と書くべきであるということになります。ここから

$CT_q=\frac{b}{A}$

よって

$A=\frac{b}{CT_q}$

となります。これを式(8)に代入して

$F_q(t){\approx}1-b\exp\left(-\frac{b}{CT_q}t\right)$ ・・・・(9)

ここで $CT_q$ は、 $CT_q$ に関するKraemer・Lagenbach-Belz近似式

の時
- $CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e\exp\left[-\frac{2(1-u)}{3u}\cdot\frac{(1-c_a^2)^2}{c_a^2+c_e^2}\right]$ ・・・・(10)
の時
- $CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e\exp\left[-(1-u)\cdot\frac{c_a^2-1}{c_a^2+4c_e^2}\right]$ ・・・・(11)

より求めることにします。これでＧＩ／Ｇ／１待ち行列におけるジョブの待ち時間の累積確率分布 $F_q(t)$ の近似式を求めることが出来ました。
まとめて書きますと結論は

ＧＩ／Ｇ／１待ち行列におけるジョブの待ち時間の累積確率分布 $F_q(t)$ の近似式

$F_q(t){\approx}1-b\exp\left(-\frac{b}{CT_q}t\right)$ ・・・・(9)

ただし

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(2)

さらに

$c_a{\le}1$ の時

$h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+c_a^2+uc_e^2}{1+u(c_e^2-1)+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(3)

$CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e\exp\left[-\frac{2(1-u)}{3u}\cdot\frac{(1-c_a^2)^2}{c_a^2+c_e^2}\right]$ ・・・・(10)

$c_a>1$ の時

$h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(4)

$CT_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e\exp\left[-(1-u)\cdot\frac{c_a^2-1}{c_a^2+4c_e^2}\right]$ ・・・・(11)

です。

次の課題は、上の近似式をＧＩ／Ｇ／ｓの場合に拡張することです。ここで問題になるのはＧＩ／Ｇ／１のKraemer・Lagenbach-Belz近似式で求めた $b$ の値をそのままＧＩ／Ｇ／ｓの場合にも用いてよいかどうかです。Kraemer・Lagenbach-Belz近似式の導出を論じた論文（「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式（１）」〜「（８）」参照）ではＧＩ／Ｇ／ｓの場合については考慮していませんでした。ＧＩ／Ｇ／ｓにおける待ち確率（＝到着したジョブが、全ての装置が処理中であるのを見る確率） $\Pi(GI/G/s)$ についてこれから検討していきます。