ＧＩ／Ｇ／ｓのΠとΩの比（１）

待ち行列理論

ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列を考えた時、ジョブの到着時点で全ての装置が処理中であるのをそのジョブが見る確率を

  • \Pi(GI/G/s)

で表すことにします。ジョブの到着時点ではなく時間平均で見て、全ての装置が処理中である割合を

  • \Omega(GI/G/s)

とします。ここで

  • B=\frac{\Pi(GI/G/s)}{\Omega(GI/G/s)}・・・・(1)

と置きます。ここでsを変化させます。ただし、平均処理時間t_e、装置の稼働率uは一定にし、処理時間の分布h(t)も変化させないようにします。ジョブの到着間隔の分布g(t)については、装置台数がsの時の分布をg(t;s)で表すようにします。そして

  • g(t;s)=sg(st;1)・・・・(2)

と決めます。これは、sを変化させても装置の稼働率uが一定になるようにするための処置です。このようにした時のsの変化につれてのbの変化の様子を私は知りたいのですが、その前に式(2)の意味するところを明らかにしておきます。
まず、g(t;s)が規格化されていることを確認します。

  • \Bigint_0^{\infty}g(t;1)dt=1・・・・(3)

であるとします。すると

  • \Bigint_0^{\infty}g(t;s)dt=\Bigint_0^{\infty}sg(st;1)dt・・・・(4)

ここで

  • \tau=st・・・・(5)

と置くと

  • d\tau=sdt・・・・(6)

式(5)(6)を式(4)の右辺に用いると

  • \Bigint_0^{\infty}sg(st;1)dt=\Bigint_0^{\infty}g(\tau;1)d\tau=\Bigint_0^{\infty}g(t;1)dt

よって式(4)は

  • \Bigint_0^{\infty}g(t;s)dt=\Bigint_0^{\infty}g(t;1)dt・・・・(7)

ここで式(3)を用いれば

  • \Bigint_0^{\infty}g(t;s)dt=1・・・・(8)

よってg(t;s)が規格化されていることが証明出来ました。
次に到着間隔の確率変数をTで表すことにして、到着間隔の平均値E(T;s)を求めてみます。平均値の定義から

  • E(T;s)=\Bigint_0^{\infty}tg(t;s)dt=\Bigint_0^{\infty}tsg(st;1)dt

ここで式(5)(6)を用いれば

  • E(T;s)=\Bigint_0^{\infty}\frac{\tau}{s}g(\tau;1)d\tau

よって

  • E(T;s)=\frac{1}{s}\Bigint_0^{\infty}\tau{g}(\tau;1)d\tau・・・・(9)

式(9)の右辺の積分はE(T;s)の定義から考えるとE(T;1)にほかならないので

  • E(T;s)=\frac{1}{s}E(T;1)・・・・(10)

つまり到着間隔の平均値はsと反比例します。稼働率uは

  • u=\frac{t_e}{sE(T;s)}・・・・(11)

なので、式(10)を代入すると

  • u=\frac{t_e}{E(T;1)}・・・・(12)

ここから稼働率uがsの変化にかかわらず一定であることが分かります。さきほど式(2)の意味を「これは、sを変化させても装置の稼働率uが一定になるようにするための処置です。」と述べたのはこの意味です。