ＧＩ／Ｇ／ｓのΠとΩの比（４） - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｇ／ｓのΠとΩの比（３）」のつづきです。
Ｍ／Ｇ／ｓの場合は $s$ の値に関わらず $B=1$ でした。ＧＩ／Ｍ／ｓの場合は $B$ の値は $s$ に依存しませんでした。ここからＧＩ／Ｇ／ｓの場合も $B$ の値は $s$ に依存しないと推測出来ます。これをどうやって証明したらよいのか今の私には皆目検討がつきませんが、まずはこれを仮定して話を進めてみます。そうすると、ＧＩ／Ｇ／ｓについて

$\frac{\Pi(GI/G/s)}{\Omega(GI/G/s)}=\frac{\Pi(GI/G/1)}{\Omega(GI/G/1)}$ ・・・・(26)

が言えます。 $\Pi(GI/G/1)$ の定義から、これはKraemer・Lagenbach-Belz近似式に登場する $b$ であることが分かります。よって

$\Pi(GI/G/1)=b$ ・・・・(27)

であり、 $b$ は以下によって近似されます。

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(2)
ただし
- の時
  - $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+c_a^2+uc_e^2}{1+u(c_e^2-1)+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(3)
- の時
  - $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ ・・・・(4)

次に $\Omega(GI/G/1)$ の定義から

$\Omega(GI/G/1)=u$ ・・・・(28)

です。式(26)(27)(28)から

$\frac{\Pi(GI/G/s)}{\Omega(GI/G/s)}=\frac{b}{u}$ ・・・・(29)

となります。ここで $b$ の近似値を求めるのは式(2)(3)(4)を用いるのですが、式(2)(3)(4)に登場する $u$ 、 $c_a$ 、 $c_e$ は全てＧＩ／Ｇ／１待ち行列のものを使います。ところがＧＩ／Ｇ／ｓとＧＩ／Ｇ／１を対応付けるのに用いた方法は、 $u$ 、 $c_a$ を一定に保つものでしたし、 $c_e$ についても $s$ を変化させても処理時間分布を変えないと仮定したので一定です。よって式(2)(3)(4)に登場する $u$ 、 $c_a$ 、 $c_e$ は全てＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列のものであると考えてよいことになります。これでＧＩ／Ｇ／ｓのΠとΩの比を求めることが出来ました。