ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の平均待ち時間

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間」で述べた

すなわち

• 

です。この証明は別途示します。

について証明を示します。「Ｉ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布に向けて（２）」の式(15)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

• 　ただし・・・・(1)

です。ただしはジョブが到着した時、そのジョブを除いて個のジョブがシステム内に存在する確率です。もし個のジョブが存在するならば、到着したジョブの前に待っているジョブの数は個です。ですので、これらのジョブが全て処理開始になるまでの時間の平均値は

• ・・・・(2)

になります。一方、このジョブが到着した時点での、処理中の個あるジョブのうち１個が処理完了するまでの時間の平均値は、処理時間の分布が指数分布であることから、１個のジョブが任意の極小のの時間間隔に処理完了する確率は

• ・・・・(3)

よって個あるジョブのうちどれか１個のジョブが任意の極小のの時間間隔に処理完了する確率は、

• ・・・・(4)

です。よって、任意の時点から個あるジョブのうちどれか１個のジョブが完了するまでの平均時間は

• ・・・・(5)

になります。結局、到着したジョブの待ち時間の平均値は、今処理中の個のジョブのうちどれかが処理完了するまでの平均時間、式(5)、プラス、待っている個のジョブが処理開始されるまでの平均時間、式(2)、となり

• ・・・・(6)

となります。にかかわらないジョブの待ち時間の平均値は

• ・・・・(7)

となります。式(7)に(1)(6)を代入すると

• 
  • 
  • 

ここで「補足」の式(2)（ここでは番号を振り直して式(8)とします）

• ・・・・(8)

を用いると

• 
  • 

よって

• ・・・・(9)

ここでリトルの法則を用いると、スループットが

• 

であるので、平均待ち行列長は

• 

よって

• 
• ・・・・(10)

式(10)でとすると

• ・・・・(11)

式(10)(11)から

• ・・・・(12)

ここで「ＧＩ／Ｇ／ｓのΠとΩの比（３）」の式(22)８ここでは番号を振り直して式(13)とします）

• ・・・・(13)

でとすると

• ・・・・(14)

式(13)(14)から

• ・・・・(15)

式(15)を(12)に代入して

• ・・・・(16)

ここでは定義からに等しいので、式(16)は

• ・・・・(17)

よって

• ・・・・(18)

となります。