工場統計力学（建設中！）

一定期間の処理開始回数の平均と標準偏差

待ち行列理論

冬眠中に考えたことを書きます。
ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列を考えます。 $s$ 台の装置が時間 $T$ の間、常に処理中であるとします。この $T$ の間に処理開始が何回起きるかについて考えます。１台の装置に注目して $T$ の間にその装置で処理開始が起きる回数を確率変数 $N(1;T)$ で表すことにします。そしてその平均値を $E[N(1;T)]$ 、標準偏差を $\sigma[N(1;T)]$ で表すことにします。次に $s$ 台の装置を全て考えた場合、 $T$ の間にどの装置であるかを気にせずに処理開始が起こる回数を確率変数 $N(s;T)$ で表すことにします。すると明らかに

$E[N(s;T)]=sE[N(1;T)]$ ・・・・(1)
$\sigma[N(s;T)]^2=s\sigma[N(1;T)]^2$ ・・・・(2)

となります。
次に、期間を $1/s$ にした $T_2$

$T_2=\frac{T}{s}$ ・・・・(3)

を考えます。この期間 $T_2$ に $s$ 台の装置のどれかで処理開始が起きる回数を確率変数 $N(s;T_2)$ で表します。すると

$E[N(s;T_2)]=\frac{1}{s}E[N(s;T)]$ ・・・・(4)

となります。標準偏差については、処理時間が装置間で、または処理間で、独立であることを考慮すれば

$s\sigma[N(s;T_2)]^2=\sigma[N(s;T)]$ ・・・・(5)

となります。式(1)と(4)から

$E[N(s;T_2)]=E[N(1;T)]$ ・・・・(6)

また、式(2)と(5)から

$\sigma[N(s:T_2)]^2=\sigma[N(1;T)]^2$

よって

$\sigma[N(s:T_2)]=\sigma[N(1;T)]$ ・・・・(7)

ところで、この待ち行列の装置の処理時間の分布をそのまま $1/s$ にした処理時間分布を持つ１台の装置からなるＧＩ／Ｇ／１待ち行列を考えます。最初のＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列を待ち行列Ａ、このＧＩ／Ｇ／１待ち行列を待ち行列Ｂと呼ぶことにします。待ち行列Ｂで１台の装置が時間 $T_2=T/s$ の間、常に処理中であるとします。この $T_2$ の間にその装置で処理開始が起きる回数を確率変数 $M(1;T_2)$ で表すと、これは待ち行列Ａで１台の装置だけに注目した時と、時間を $1/s$ にしただけで相似なため $M(1;T_2)$ と $N(1;T)$ は同じ確率分布を持ちます。よって

$E[M(1;T_2)]=E[N(1;T)]$ ・・・・(8)
$\sigma[M(1;T_2)]=\sigma[N(1;T)]$ ・・・・(9)

となります。式(6)と(8)から

$E[M(1;T_2)]=E[N(s;T_2)]$ ・・・・(10)

また、式(7)と(9)から

$\sigma[M(1;T_2)]=\sigma[N(s;T_2)]$ ・・・・(11)

つまり、同じ期間 $T_2$ の間に処理開始が起きる回数の平均と標準偏差は、ＧＩ／Ｇ／ｓと、その処理時間分布を $1/s$ にして装置を１台にしたＧＩ／Ｇ／１で等しくなる、ということになります。