工場統計力学（建設中！）

試行錯誤

待ち行列理論

もう、ここまで煮詰まってしまうと人にお見せするような内容ではないのですが・・・・。ただ、もう、自分のノート代わりに書いているだけ。

「一定期間の処理開始回数の平均と標準偏差」の考え直し。

ＧＩ／Ｇ／ｓである待ち行列Ａを考える。その装置の平均処理時間を $t_e$ とする。 $s$ 台の装置が時間 $T$ の間、常に処理中であるとする。１台の装置に注目して $T$ の間にその装置で処理開始が起きる回数を確率変数 $N(1;T;t_e)$ で表すことにする。そしてその平均値を $E[N(1;T;t_e)]$ 、標準偏差を $\sigma[N(1;T;t_e)]$ で表す。次に $s$ 台の装置を全て考えた場合、 $T$ の間に $s$ 台の装置のいずれかの処理開始が起こる回数を確率変数 $N(s;T;t_e)$ で表すことにする。すると明らかに

$E[N(s;T;t_e)]=sE[N(1;T;t_e)]$ ・・・・(1)
$\sigma[N(s;T;t_e)]^2=s\sigma[N(1;T;t_e)]^2$ ・・・・(2)

となる。

ここまではよい。

次に到着分布は待ち行列Ａと同じで、処理時間分布は待ち行列Ａと同じ形で平均値が $t_e/s$ であるようなＧＩ／Ｇ／１の待ち行列Ｂを考える。装置が時間 $T$ の間、処理中であるとする。待ち行列Ｂで $T$ の間に処理開始が起きる回数は確率変数 $N(1;T;t_e/s)$ と表すことが出来る。明らかに $N(1;T;t_e/s)$ と $N(1;sT;t_e)$ は同じ分布を持つ。よって

$E[N(1;T;t_e/s)]=E[N(1;sT;t_e)]$ ・・・・(3)
$\sigma[N(1;T;t_e/s)]^2=\sigma[N(1;sT;t_e)]^2$ ・・・・(4)

これもよい。

さらに

$E[N(1;sT;t_e)]=sE[N(1;T;t_e)]$ ・・・・(5)

だから式(1)(3)(5)から

$E[N(s;T;t_e)]=E[N(1;T;t_e/s)]$ ・・・・(6)

これもよい。問題は標準偏差だ。

$\sigma[N(1;sT;t_e)]^2=s\sigma[N(1;T;t_e)]^2$

とはならない。なぜなら、 $s$ 個の長さ $T$ の区間は互いに独立とは限らないから。

ただし $T\rightar\infty$ の時

$\frac{1}{T}\sigma[N(1;sT;t_e)]^2\rightar\frac{s}{T}\sigma[N(1;T;t_e)]^2$ ・・・・(7)

にはなるだろう。この式の意味は何なんだ？