Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（１０）

原文は

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2.5.　D/M/mモデルとM/D/mモデル
　よりよい近似を得るためにCosmetatos (1975)によって開発された $M/D/m$ システムと $D/M/m$ システムについての非常に正確な近似を適用する。彼の近似は

$EW(M/D/m)\approx\phi_1(m,\rho)EW(M/M/m)EW(M/D/1)/EW(M/M/1)$

$\approx\phi_1(m,\rho)\left(\frac{c_a^2+c_s^2}{2}\right)EW(M/M/m)$ ・・・・(2.16)

ただし $(c_a^2+c_s^2)/2=1/2$ 、 $\phi_1(m,\rho)=1+\gamma(m,\rho)$ 、

$\gamma(m,\rho)=\min\{0.24,(1-\rho)(m-1)((4+5m)^{1/2}-2)/(16m\rho)\}$ ・・・・(2.17)

$EW(D/M/m)=\phi_2(m,\rho)EW(M/M/m)EW(D/M/1)/EW(M/M/1)$ ・・・・(2.18)

ただし $\phi_2(m,\rho)=1-4\gamma(m,\rho)$ で、 $\gamma(m,\rho)$ は(2.17)のもの。
　私は(2.16)に0.24との最小値を挿入することによってCosmetatos (1975)の近似式を修正した。この修正がないと、任意の正の $m$ について $\rho\rightar{0}$ で $\gamma(m,\rho)\rightar\infty$ になる。さらに $\gamma(m,\rho)>0.25$ について $\phi_2(m,\rho)$ は負になってしまう。確率的比較を考慮すると、 $\gamma(m,\rho)$ は式(2.16)の中では１未満でなければならない（Whitt 1983b）。しかし、私は極限ケースの調整のみを用いる。
　(2.16)を直接適用するが、(2.18)は若干複雑な $EW(D/M/1)$ の値を含んでいる。実際、 $EW(D/M/1)=\lambda^{-1}\sigma$ であり、 $\sigma$ は方程式 $x-e^{-(1-x)/\rho}=0$ の間隔(0,1)にある唯一の根であるので、 $EW(D/M/1)$ は非常な困難なしに評価される。しかし、私はKraemerとLangenbach-Belz (1976)の近似（Whitt 1983a）、公式(45)

$EW(D/M/1)EW(M/M/1)\approx2^{-1}\exp(-2(1-\rho)/3\rho)$ ・・・・(2.19)

を用いる。次に(2.18)と(2.19)を組合わせて

$EW(D/M/m)\approx\phi_3(m,\rho)\left(\frac{c_a^2+c_s^2}{2}\right)EW(M/M/m)$ ・・・・(2.20)

を得る。ここに $\phi_3(m,\rho)=\phi_2(m,\rho)\exp(-2(1-\rho)/3\rho)$ である。 $M/D/m$ システムと $D/M/m$ システムについてのこれらの近似の精度はすばらしい（表２，３）。 $D/M/m$ の場合に近似(2.14)からの大きな改善は明らかである。例えば $D/M/m$ モデルで $\rho=0.70$ で $m=2$ の時、 $EW$ の正確な値と新しい近似値はともに0.46であるが、近似式(2.14)では0.67となっている。