Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（１１）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

2.6.一般GI/G/mモデル
　一般の $GI/G/m$ モデルの近似式を、少なくとも $c_a^2{\le}1$ かつ $c_s^2{\le}1$ の場合について得る自然な方法の１つは、うまく取り扱うことが出来る $M/D/m$ と $D/M/m$ と $M/M/m$ のケースから内挿することである（Cosmetatos 1982、Page 1982）。これの興味深い変化形もまた近年Kimura (1986)によって提案された。これらの近似は明らかに $c_a^2{\le}1$ かつ $c_s^2{\le}1$ であるような $GI/G/m$ モデルを主に対象にしている。というのはこれらは $c_a^2>1$ または $c_s^2>1$ の時に非常に悪い（負の）近似をもたらすことがあるからである。 $c_a^2$ または $c_s^2$ が大きい時に高い精度は可能でないかもしれないが、私の目標は全ての範囲にわたって適切な値をもたらすことである。
　このアイディアは最初に $c_a^2=c_s^2$ の場合に集中し、次に $c_a^2>c_s^2$ と $c_s^2>c_a^2$ の場合を扱うことである。 $c_a^2{\ge}1$ 、 $c_s^2{\ge}1$ で $c_a^2$ と $c_s^2$ の値が近い場合、古い近似(2.14)は適切であるので、これを $c_a^2=c_s^2{\ge}1$ の場合に用いる。 $c_a^2=c_s^2<1$ の場合は、数値計算値が、近似式(2.14)が大きすぎることを明らかに示している。私はさまざまな方法を試し、最終的に $M/D/m$ モデルと $D/M/m$ モデルにおける $EW$ のすばらしい近似式を単純な仕方で利用することに決めた。 $c_a^2=c_s^2=0.5$ の場合、私は $M/D/m$ と $D/M/m$ の間を線形補間し、他の場合には修正関数によって滑らかな曲線に合わせた。

$\phi_4(m,\rho)=\min\{1,(\phi_1(m,\rho)+\phi_3(m,\rho))/2\}$ ・・・・(2.21)

で

$\Psi(c^2,m,\rho)=\{{1,\text{ c^2{\ge}1}\atop{\phi_4(m,\rho)^{2(1-c^2)}},\text{ 0{\le}c^2{\le}1}}$ ・・・・(2.22)

$c_a^2=c_s^2=c^2$ の場合、

$EW(\rho,c^2,c^2,m)\approx\Psi(c^2,m,\rho)\left(\frac{c_a^2+c_s^2}{2}\right)EW(M/M/m)$ ・・・・(2.23)

としよう。表６は興味のある主要なモデルである $E_2/E_2/m$ モデルについてのこの手続きの結果を含んでいる。近似は $m$ が大きくて $\rho$ が小さい領域を除いて明らかにすばらしい。この領域については実際の値は無視出来る傾向にある。
　さて私は、(2.23)で決定された $[(c_a^2+c_s^2)/2,(c_a^2+c_s^2)/2]$ のケースについての近似を修正することによって、 $c_a^2\neq{c}_s^2$ であるような $c_a^2,c_s^2$ のペアの一般的なケースを扱う。このために、(2.19)の $EW(M/D/m)$ の修正因子 $\phi_1(m,\rho)$ と(2.26)の $EW(D/M/m)$ の修正因子 $\phi_3(m,\rho)$ から出発し、合致の度合いを改善するためにこれらを修正した。最終近似式は

$EW(\rho,c_a^2,c_s^2,m)\approx\phi(\rho,c_a^2,c_s^2,m)\left(\frac{c_a^2+c_s^2}{2}\right)EW(M/M/m)$ ・・・・(2.24)

ただし

$\phi(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$

$=\{{\left(\frac{4(c_a^2-c_s^2)}{4c_a^23-3c_s^2}\right)\phi_1(m,\rho)+\left(\frac{c_s^2}{4c_a^2-3c_s^2}\right)\Psi((c_a^2+c_s^2)/2,m,\rho),\text{ c_a^2{\ge}c_s^2}\atop{\left(\frac{c_s^2-c_a^2}{2c_a^2+2c_s^2}\right)\phi_3(m,\rho)+\left(\frac{c_s^2+3c_a^2}{2c_a^2+2c_s^2}\right)\Psi((c_a^2+c_s^2)/2,m\rho),\text{ c_a^2{\le}c_s^2}}$ ・・・・(2.25)

ただし $\Psi(c^2,m,\rho)$ は(2.22)のもの。 $c_a^2=c_s^2$ の時(2.25)の $\phi$ は(2.22)の $\Psi$ に簡略化されるので(2.24)は(2.23)に一致することに注意しよう。また(2.25)の $\phi$ は $c_s^2=0$ の時 $\phi_1$ に、 $c_a^2=0$ の時 $\phi_3$ に簡略化される。よって(2.24)はセクション２．５での $EW(M/D/m)$ と $EW(D/M/m)$ の近似と一致する。公式(2.24)はまたパラメータ $(\rho,c_a^2,c_s^2)$ の連続関数でもある。逆問題として、 $\rho$ かまたは $c_a^2+c_s^2$ だけを変更することにより(2.24)の $EW$ によって任意の正の数を実現することが出来る。