Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２１）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

　しかし、 $c_a^2<1$ の時、LB率近似は［(2.10)に基づく他の全てについても同様に］ $m$ が大きくて $\rho$ が小さい時に待ち確率をかなり過小評価してしまう。よって、この領域で向上を得るために(2.11)での正規近似を用いて(3.4)を修正する。このために、(2.11)の正規近似を用いる。 $GI/G/m$ についての正規近似は $P(N{\ge}m)\approx{1}-\Phi(\gamma)$ で、ただし $\Phi$ は累積標準正規分布関数であり、

$\gamma=\gamma(m,\rho,z)=(m-m\rho-0.5)/(m\rho{z})^{1/2}$ ・・・・(3.5)

$z=1+(c_a^2-1)\tau^{-1}\Bigint_0^{\infty}[1-G(x)]^2dx$ ・・・・(3.6)

で $G$ はサービス時間の累積分布関数である。平均１の指数サービス時間の場合我々は $z=(c_a^2+1)/2$ と見なす。 $M/G/m$ モデルについては(3.5)は(2.11)に帰着する。 $G/M/m$ モデルについてのこの正規近似を示す（表１５と１６）。 $m$ が大きく、かつ $\rho$ が小さいのでない限り、やはりこれは貧弱な近似である。しかし、 $D/M/m$ モデルにおいて $m$ が大きくかつ $\rho$ が小さい時、明らかに役立つ（表１５）
　 $GI/M/m$ モデルで私が用いた特殊な近似はサーバの数 $m$ と(3.5)における正規変数 $\gamma(m-m\rho-0.5)/\sqrt{m\rho{z}}$ に依存する。具体的には、私の近似は以下である。

$P(W(GI/M/m)>0)$

$\approx\left{\begin{array}(3.4)\text{ if m{\le}6 or if \gamma{\le}0.5 or if c_a^2{\ge}1}\\c_a^2(3.4)+(1-c_a^2)(3.5)\text{ if m{\ge}7,\gamma{\ge}1.0 and c_a^2<1}\\2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)(3.5)+(1-[2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)])(3.4)\\\text{if m{\ge}7,c_a^2<1 and 0.5<\gamma<1.0}\end{array}$ ・・・・(3.7)

ただし式の番号(3.4)、(3.5)は(3.7)の中で実際の値の代わりに使用されている。近似式(3.7)は表１４と１５において $GI/M/m$ モデルの新近似である。公式(3.7)は通常(3.4)のLB率近似に帰着する。しかし若干の領域で私は(3.5)の正規近似をも適用する。この考えは３つの条件、（１）サーバ数 $m$ が大きい、（２）到着変動パラメータ $c_a^2$ が小さい、（３）式(3.5)の正規変数 $\gamma$ が比較的大きい、が一緒に成り立つ場合に正規近似を用いるというものである。 $EW$ についての公式(2.24)と同じように、式(3.7)はパラメータ $\lambda$ 、 $c_a^2$ 、 $\tau$ の連続関数である。

表１５
$D/M/m$ モデルにおける待ち確率 $P(W>0)$ の近似とKuihn (1976)による正確な値の比較