Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２０）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

3.3. $GI/M/m$ モデル
　 $GI/M/m$ モデルについての私の近似を支持する主要な理論的結果はこれらのモデルにおける待ちの確率についての重負荷極限定理である（HalfinとWhitt 1981、定理4）。HalfinとWhittは、 $M/M/m$ モデルについての近似(2.10)は $GI/M/m$ モデルについても、(2.10)における $\beta$ が $\beta_G=2\beta/(1+c_a^2)$ で置き換えられるならば、 $(1-\rho)m^{1/2}\rightar\beta$ として $m\rightar\infty$ かつ $\rho\rightar{1}$ とした時に漸近的に正しいことを示した。 $GI/M/m$ モデルについて

$HW(c_a^2)=\xi(2(1-\rho)m^{1/2}/(1+c_a^2))$ ・・・・(3.2)

としよう。ただし $\xi(\beta)$ は(2.10)で定義される。
　(3.2)を正確な $M/M/m$ 公式(2.3)と一緒に用いる明白なやり方は比においてである。

$P(W(c_a^2)>0)\approx\min\{1,(HW(c_a^2)/HW(1))P(W(M/M/m)>0)\}$ ・・・・(3.3)

である。ただし $W(c_a^2)$ は $GI/M/m$ モデルにおける待ち時間を $c_a^2$ の関数として示している。(3.2)の代わりに(3.3)における比の近似を用いて、 $c_a^2=1$ の時の $M/M/m$ における正確な値を得る。
　 $GI/M/m$ モデルのある一族について近似(3.2)と(3.3)とさらに多くの関係する近似を比較する。この種の最良の近似は $HW(c_a^2)$ の下限を用いた比の近似であった（HalfinとWhitt 1981、補題１、p.575）。この近似、下限、あるいはLB率、は

$P(W(c_a^2)>0)$

$\min\left\{1,\frac{1-\Phi(2(1-\rho)m^{1/2}/(1+c_a^2))}{1-\Phi((1-\rho)m^{1/2})}P(W(M/M/m)>0)\right\}$ ・・・・(3.4)

で定義される。ただし $\Phi$ は同様に累積標準正規分布関数である。 $D/M/m$ の場合で見ることが出来るように（表１４）、(3.4)のLB率近似は通常うまくいき、同じ場合についての $M/M/m$ の正確な値よりずっとよい（表１３）。

表１４
$\rho=0.90$ であるようないくつかの $GI/G/4$ モデルにおける待ち確率 $P(W>0)$ の近似と正確な値の比較