Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２７）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

4.　待ち時間分布
　このセクションでは定常状態待ち時間 $W$ と定常状態滞在時間 $T$ の分散とさらにそれらの分布全体についての近似を得る。セクション4.1ではここでまた適用するWhitt (1983a、セクション５)での近似手続きを見直す。セクション4.2では漸近法に基づいた別の方法について手短に検討する。これについてはここでの $EW$ と $E(W|W>0)$ の近似に用いることが出来る。セクション4.3では数値比較を行う。

4.1.　条件待ち時間
　待ち時間の分散 $\rm{Var}(W)$ と待ち時間累積分布関数 $P(W{\le}x)$ の近似を得るために、Whitt (1983a、セクション5.1)で $GI/G/1$ 待ち行列について用いたのと同じ手続きを採用する。サーバがビジーであるとした時の条件待ち時間 $D=(W|W>0)$ に注目する。明らかに

$ED=EW/P(W>0)$ ・・・・(4.1)

よって先の(2.24)の $EW$ の近似式と(3.9)の $P(W>0)$ の近似式を組合わせて $ED$ の近似式を得る。Whitt (1983a)の公式(50)に従って、 $D$ の２乗変動係数(SCV)、 $c_D^2$ の以下の近似式を導入する。

$c_D^2=2\rho-1+4(1-\rho)d_s^3/3(c_s^2+1)^2$ ・・・・(4.2)

ただし、 $d_s^3=E(V^3)/(EV)^3$ であり、 $V$ はサービス時間である。３次モーメント $E(V^3)$ は部分的モデル仕様では利用可能でないので、 $H_2$ と $E_k$ の分布に基づく近似を用いる。具体的には、

$d_s^3=\left\{\begin{array}3c_s^2(1+c_s^2)&\;&c_s^2{\ge}1\\(2c_s^2+1)(c_s^2+1)&\;&c_s^2<1\end{array}$ ・・・・(4.3)

とする。公式(4.2)は $M/G/1$ モデルについては正確な公式であり、Hokstad (1978)が提案したように、 $M/G/m$ モデルについての近似式として用いられる。次に $c_D^2$ を $M/G/m$ モデルと同様に $GI/G/m$ モデルについての近似として用いる。この考えは条件待ち時間は到着間隔時間分布よりもサービス時間分布にずっと依存するはずだ、というものである。SeelenとTijims (1984)はこの近似方針についてさらに支持を与えた。
　(4.1)〜(4.3)から単純なやり方で２次モーメントと分散の近似を得る。

$\rm{Var}(D)=(ED)^2c_D^2=(EW)^2c_D^2/P(W>0)^2$

$E(D)^2=\rm{Var}(D)+(ED)^2$

$c_W^2=\frac{E(W^2)}{(EW)^2}-1=\frac{c_D^2+1-P(W>0)}{P(W>0)}$

$\rm{Var}(W)=(EW)^2c_W^2$

$E(W^2)=\rm{Var}(W)+(EW)^2$ ・・・・(4.4)

　次にWhitt [1983a、公式(55)〜(61)]で述べたように、待ち時間分布を、また(3.9)を用いてゼロでのかたまり $P(W=0)$ を持つようにし、(4.1)と(4.2)による $ED$ と $c_D^2$ を与えて $D$ の密度を合わせることによって近似する。
　(4.4)から滞在時間混雑尺度を容易に求めることが出来る。滞在時間は独立な待ち時間とサービス時間の合計なので、

$ET=EW+\tau$ 、そして、 $\rm{Var}\;T=\rm{Var}\;W+\tau^2c_s^2$ ・・・・(4.5)

よって、 $E(T^2)=\rm{Var}\;T+(ET)^2$ 、そして、 $c_T^2=\rm{Var}\;T/(ET)^2$