Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２８）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

4.2.　漸近法
　ここでは詳しく調査しないが、もう一つの方法は単純な指数分布

$P(W>x)\approx\alpha{e}^{-\eta{x}}$ ・・・・(4.6)

によって裾野確率を近似することである。ただし $\eta$ と $\alpha$ は極限

$x\rightar\infty$ の時、 $e^{\eta{x}}P(W>x)\rightar\alpha$ ・・・・(4.7)

から得られる。(4.7)の漸近法はかなりの一般性を持って成立することが知られている。それはTakahashi (1981)、NeutsとTakahashi (1981)、Abate、Choudhury、Whitt (1994c)によって、それぞれ $PH/PH/m$ 、 $GI/PH/m$ 、 $PH/G/m$ のケースについて証明されてきた（ただし $PH$ はフェーズ型を意味する）。（ $PH/G/m$ のケースは複数の正則条件を必要とし、主要なものは、サービス時間分布は有限のモーメント母関数を持たなければならない、というものである。）　さらに、(4.7)はより一般的に成立すると推測されており、類似のものは他の定常状態確率変数 $T$ 、 $Q$ 、 $N$ について証明されてきた。Tijms (1986)もまた漸近法を検討し、Seelen、Tijms、van Hoorn (1985)はその表の中で（待った客についての）漸近パラメータ $\eta$ と $\alpha$ を与えている。
　(4.7)の漸近待ち率 $\eta$ は変換方程式

$Ee^{\eta[(V/m)-U]}=1$ ・・・・(4.8)

の根として得られる。ただし $V$ は（平均１の）サービス時間であり $U$ は到着間隔時間である。さらに $U$ と $V$ の最初の数次のモーメントに関する $\eta$ の近似が、Abate、Choudhury、Whitt (1994a)、AbateとWhitt (1994)、ChoudhuryとWhitt (1994)で開発された。
　小さな裾野の漸近法(4.7)に基づく指数近似(4.6)は $x$ がそれほど小さくない時に顕著に正確である。しかし、(4.7)と(4.8)における真の漸近パラメータ $\eta$ と $\alpha$ は部分的情報 $(\rho,c_a^2,c_s^2.m)$ だけに依存するわけではない。パラメータ４つ組 $(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ に関係する、 $\eta$ の単純な重負荷近似は

$\eta\approx\frac{2m(1-\rho)}{c_a^2+c_s^2}$ ・・・・(4.9)

である。近似式(4.9)は３次モーメントを組み込むことによって、顕著に改善出来る。
　Abate、Choudhury、Whitt (1992a)は漸近定数 $\alpha$ についての対応する近似式

$\alpha\approx\eta{EW}$ ・・・・(4.10)

を提案した。 $m$ が大きい場合、条件確率分布 $P(W>x|W>0)$ に注目するのが望ましいであろう。よって、(4.10)の $EW$ の代わりに $ED=EW/P(W>0)$ を用いることが出来る。