k≦mの時のp(k)の推定（３）――ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

次に

$q(j)=\frac{\alpha^{j}e^{-\alpha}}{j!}$ ・・・・(2)

となっていますが、

$p(k)\approx\frac{q(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}$ ・・・・(1)

あるいは、私が修正した

$p(k)\approx\frac{q(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}P(k{\le}m)$ ・・・・(6)

で $q(j)$ を $p(k)$ と関係付けるのであれば式(2)右辺の $e^{-\alpha}$ は不要であることを指摘したいです。つまり、式(6)に式(2)を代入すると

$p(k)\approx\frac{\alpha^ke^{-\alpha}/k!}{\Bigsum_{j=0}^s\alpha^je^{-\alpha}/j!}P(k{\le}m)=\frac{\alpha^k/k!}{\Bigsum_{j=0}^s\alpha^j/j!}P(k{\le}m)$

となるので式(2)で $q(j)$ を定義する代わりに

$q(j)=\frac{\alpha^j}{j!}$ ・・・・(7)

で定義しても $p(k)$ の値は変わりません。今後は式(2)の代わりに式(7)を採用します。

さて、「k≦mの時のp(k)の推定（２）――ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ」の最後に述べたように

$P(k{\le}m)=1-P(Q>0)$ ・・・・(8)

なので、式(8)を式(6)に代入すると

$p(k)\approx\frac{q(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}[1-P(Q>0)]$ ・・・・(9)

となります。さらにこれを「k≦mの時のp(k)の推定（１）――ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ」の式(3)

$su=\Bigsum_{k=0}^skp(k)+sP(Q>0)$ ・・・・(3)

に代入すると

$su=\frac{\Bigsum_{k=0}^skq(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}[1-P(Q>0)]+sP(Q>0)$

これを変形して

$\frac{\Bigsum_{k=0}^skq(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}[1-P(Q>0)]=s[u-P(Q>0)]$
$\frac{\Bigsum_{k=0}^skq(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$ ・・・・(10)

さらに式(10)に式(7)を代入すると

$\frac{\Bigsum_{k=0}^sk\alpha^k/k!}{\Bigsum_{j=0}^s\alpha^j/j!}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$
$\frac{\Bigsum_{k=1}^s\alpha^k/(k-1)!}{\Bigsum_{k=0}^s\alpha^k/k!}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$
$\frac{\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-1}\alpha^k/k!}{\Bigsum_{k=0}^s\alpha^k/k!}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$ ・・・・(11)

となります。別の式から $P(Q>0)$ の値を求めたあと、その値を式(11)に入れて、左辺と右辺が等しくなるように $\alpha$ の値を調整して求めることになります。 $\alpha$ の値が決まれば、これを式(7)に代入して $q(k)$ を求め、さらに $q(k)$ を式(6)に代入して $k{\le}s$ の時の $p(k)$ を求めることになります。