Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布 - 工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／１待ち行列が定常状態の時のシステム内のジョブ数の分布の求め方を紹介します。これは「Ｍ／Ｄ／１の定常状態分布の求め方（１）」「（２）」を拡張したものです。

Ｍ／Ｇ／１待ち行列システム内にジョブが $k$ 個存在する確率は、「Ｍ／Ｇ／ｍの定常状態のジョブ数分布について」で示したように時間平均でみても処理終了時点平均で見ても等しいことになります。そこで、ここでは処理終了直後のジョブ数を考察することにします。定常状態になっていれば、ある処理終了直後とその次の処理終了直後でシステム内にジョブが $k$ 個存在する確率は等しいはずです。このことを用いて定常状態確率を求めていきます。システム内にジョブが $k$ 個存在する定常状態確率を $p(k)$ で表すことにします。

装置の利用率を $u$ で表すと、明らかに

$p(0)=1-u$ ・・・・(1)

であることが分かります。次に、１回の装置処理時間の間にジョブがいくつ到着するかを検討します。これはＭ／Ｄ／１の時には処理時間が一定だったので計算が楽でしたが、今回は処理時間は一般の分布を持つ確率変数です。この処理時間の確率変数を $T$ で表すことにします。そしてある時 $T=t_1$ だったとします。到着はポアソン過程（Ｍ）なので、ポアソン分布の式（「ポアソン分布」参照）

$p(k,t)=\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)$ ・・・・(2)

の $t$ に $t_1$ を代入すれば、処理時間 $t_1$ の間にジョブが $k$ 個到着する確率 $A(k;t_1)$ は、

$A(k;t_1)=\frac{({\lambda}t_1)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t_1)$ ・・・・(3)

となります。ここで装置処理時間 $T$ の分布の確率密度関数を $g(t)$ で表すことにします。すると１回の装置処理時間の間にジョブが $k$ 個到着する確率 $A(k)$ は

$A(k)=\Bigint_0^{\infty}A(k;t_1)dt_1$ ・・・・(4)

で計算出来ます。式(4)に式(3)を代入して

$A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{({\lambda}t_e)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t_1)g(t_1)dt_1$

変数 $t_1$ を $t$ で書き直せば、

$A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)g(t)dt$ ・・・・(5)

となります。

２個以上一度に処理終了することが出来ないので、ある処理終了直後のジョブ数が１つ前の処理終了直後のジョブ数より２個以上少ないことはあり得ません。よって、ある処理終了直後にシステムにジョブが０個であったならば、その１つ前の処理終了直後にはジョブが１個だった場合と、０個だった場合が考えられます。１つ前の処理終了直後１個ある状態が、処理中にジョブが０個到着して次の処理終了直後に０個になる確率は、