Ｍ／Ｇ／１のp(k)の確率母関数（１） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布」の式(8)(13)(19)（ここでは数字を振りなおして式(1)(2)(3)とします）

を眺めて一般化すれば

となります。ここで $p(k)$ の確率母関数 $L^*(z)$ を

で定義します。確率母関数を計算するとどんなメリットがあるかについては別のエントリで述べたいと思います。式(5)に式(4)を代入すると

$L^*(z)=p(0)\Bigsum_{k=0}^{\infty}A(k)z^k+\Bigsum_{k=0}^{\infty}\Bigsum_{j=0}^kA(j)p(k+1-j)z^k$ ・・・・(6)

まず、式(6)の右辺の第１項の中の

を計算します。 $A(k)$ は「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布」の式(5)（ここでは数字を振りなおして式(8)とします）

$A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{({\lambda}t)^k}{k!}\exp(-{\lambda}t)g(t)dt$ ・・・・(8)

で計算されるのでした。式(8)を式(7)に代入すると

- $=\Bigint_0^{\infty}\exp(-{\lambda}t)g(t)\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{({\lambda}t)^k}{k!}z^kdt$
- $=\Bigint_0^{\infty}\exp(-{\lambda}t)g(t)\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{({\lambda}zt)^k}{k!}dt$
- $=\Bigint_0^{\infty}\exp(-{\lambda}t)g(t)\exp({\lambda}zt)dt=\Bigint_0^{\infty}\exp(-({\lambda}-{\lambda}z)t)g(t)dt$

よって

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}A(k)z^k=\Bigint_0^{\infty}\exp(-({\lambda}-{\lambda}z)t)g(t)dt$ ・・・・(9)

ここで $g(t)$ のラプラス変換を $G(s)$ で表すことにするとラプラス変換の定義から

式(10)と(9)を見比べれば

となります。次に式(6)の右辺の第２項

を計算します。ところで

は

と書き直すことが出来ます。よって

- $=\Bigsum_{j=0}^{\infty}A(j)z^j\Bigsum_{k=j}^{\infty}p(k+1-j)z^{k-j}=\frac{1}{z}\Bigsum_{j=0}^{\infty}A(j)z^j\Bigsum_{k=j}^{\infty}p(k+1-j)z^{k+1-j}$
- $=\frac{1}{z}\Bigsum_{j=0}^{\infty}A(j)z^j\Bigsum_{k=1}^{\infty}p(k)z^k$

ここで式(11)と式(5)を用いれば

$\Bigsum_{k=0}^{\infty}\Bigsum_{j=0}^kA(j)p(k+1-j)z^k=\frac{1}{z}G(\lambda-{\lambda}z)(L^*(z)-p(0))$ ・・・・(13)

式(11)(13)を式(6)に代入すれば

$L^*(z)=p(0)G(\lambda-{\lambda}z)+\frac{1}{z}G(\lambda-{\lambda}z)(L^*(z)-p(0))$

これを変形して

$zL^*(z)=zp(0)G(\lambda-{\lambda}z)+G(\lambda-{\lambda}z)L^*(z)-G(\lambda-{\lambda}z)p(0)$
$(z-G(\lambda-{\lambda}z))L^*(z)=(z-1)p(0)G(\lambda-{\lambda}z)$
$L^*(z)=\frac{(z-1)p(0)G(\lambda-{\lambda}z)}{z-G(\lambda-{\lambda}z)}$ ・・・・(14)