Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の２乗平均

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の平均」の式(7)

  • W^{*(2)}(s)[s-\lambda+{\lambda}G(s)]+2W^{*(1)}(s)[1+{\lambda}G^{(1)}(s)]+W^*(s){\lambda}G^{(2)}(s)=0・・・・(7)

の両辺をさらにsで微分します。すると

  • W^{*(3)}(s)[s-\lambda+{\lambda}G(s)]+3W^{*(2)}(s)[1+{\lambda}G^{(1)}(s)]+3W^{*(1)}(s){\lambda}G^{(2)}(s)+W^*(s){\lambda}G^{(3)}(s)=0・・・・(11)

となります。ここでs=0とすると

  • W^{*(3)}(0)[-\lambda+{\lambda}G(0)]+3W^{*(2)}(0)[1+{\lambda}G^{(1)}(0)]+3W^{*(1)}(0){\lambda}G^{(2)}(0)+W^*(0){\lambda}G^{(3)}(0)=0
  • 3E(W^2)[1-{\lambda}E(S)]-3E(W){\lambda}E(S^2)-{\lambda}E(S^3)=0
  • 3E(W^2)(1-u)-3E(W){\lambda}E(S^2)-{\lambda}E(S^3)=0
  • 3E(W^2)(1-u)=3E(W){\lambda}E(S^2)+{\lambda}E(S^3)
  • E(W^2)=E(W)\frac{{\lambda}E(S^2)}{1-u}+\frac{{\lambda}E(S^3)}{3(1-u)}・・・・(12)

ここで式(8)

  • E(W)=\frac{{\lambda}E(S^2)}{2(1-u)}・・・・(8)

を用いれば式(12)は

  • E(W^2)=E(W)\times{2E}(W)+\frac{{\lambda}E(S^3)}{3(1-u)}

よって

  • E(W^2)=\frac{{\lambda}E(S^3)}{3(1-u)}+2E(W)^2・・・・(13)

これでＭ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の２乗平均を求めることが出来ました。