工場統計力学（建設中！）

平均待ち行列長の近似式の精度比較（６）

待ち行列理論

「平均待ち行列長の近似式の精度比較（５）」では、

$\Pi(GI/M/1)=b$ ・・・・(14)

を導き出しました。今度はこの $b$ を近似することを考えます。
「平均待ち行列長の近似式の精度比較（４）」の式(11)

$L_q(GI/M/1)=\frac{\Pi(GI/M/1)u}{1-b}$ ・・・・(11)

に式(14)を代入すると

$L_q(GI/M/1)=\frac{bu}{1-b}$ ・・・・(19)

となります。ところで、今までの精度比較で、平均待ち行列長の近似式

の時
- $L_q=\frac{c_a^2+c_e^2(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(8)
の時
- $L_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(9)

は $s=1$ の場合には比較的精度が高いことが分かっています。 $GI/M/1$ 待ち行列においても $s=1$ なので、この近似式を使うことが出来ます。式(8)(9)に $s=1$ 、 $c_e=1$ を代入すると

の時
- $L_q=\frac{u+(2-u)c_a^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$ ・・・・(20)
の時
- $L_q=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u^2}{1-u}$ ・・・・(21)

となります。これらの左辺に式(19)を代入して $b$ の近似値を得ることが出来ます。まず、 $c_a{\le}1$ の時は式(20)に式(19)を代入して

$\frac{bu}{1-b}=\frac{u+(2-u)c_a^2}{2}\frac{u^2}{1-u}$
$\frac{b}{1-b}=\frac{u+(2-u)c_a^2}{2}\frac{u}{1-u}$
$\frac{1-b}{b}=\frac{2(1-u)}{u[u+(2-u)c_a^2]}$
$\frac{1}{b}-1=\frac{2(1-u)}{u[u+(2-u)c_a^2]}$
$\frac{1}{b}=\frac{2(1-u)}{u[u+(2-u)c_a^2]}+1=\frac{2(1-u)+u[u+(2-u)c_a^2]}{u[u+(2-u)c_a^2]}$
$b=\frac{u[u+(2-u)c_a^2]}{2(1-u)+u[u+(2-u)c_a^2]}$ ・・・・(22)

となります。次に $c_a>1$ の時は式(21)に式(19)を代入して

$\frac{bu}{1-b}=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u^2}{1-u}$
$\frac{b}{1-b}=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u}{1-u}$
$\frac{1-b}{b}=\frac{2(1-u)}{u(c_a^2+1)}$
$\frac{1}{b}-1=\frac{2(1-u)}{u[c_a^2+1]}$
$\frac{1}{b}=\frac{2(1-u)}{u(c_a^2+1)}+1=\frac{2(1-u)+u(c_a^2+1)}{u(c_a^2+1)}$
$b=\frac{u(c_a^2+1)}{2(1-u)+u(c_a^2+1)}$ ・・・・(23)

となります。まとめると

の時
- $b=\frac{u[u+(2-u)c_a^2]}{2(1-u)+u[u+(2-u)c_a^2]}$ ・・・・(22)
の時
- $b=\frac{u(c_a^2+1)}{2(1-u)+u(c_a^2+1)}$ ・・・・(23)

となり、これで $b$ の近似式を求めることが出来ました。式(20)(21)の精度は高かったので、式(22)(23)で求めた $b$ の精度も高いと予想されます。