ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（５）

「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（４）」の続きです。
「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（４）」の式(20)

$p(k)=A\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(20)

を式(17)

$\Bigsum_{k=0}^{s-1}p(k)=1-\Omega(GI/G/s)$ ・・・・(17)

に代入すると

$A\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{\alpha^k}{k!}=1-\Omega(GI/G/s)$

となり、

$A=\frac{1-\Omega(GI/G/s)}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{\alpha^k}{k!}}$ ・・・・(21)

となります。これを式(20)に代入すると

$p(k)=\frac{1-\Omega(GI/G/s)}{\Bigsum_{j=0}^{s-1}\frac{\alpha^j}{j!}}\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(22)

となります。この $p(k)$ を「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（４）」の式(18)

$\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)=s\left[u-\Omega(GI/G/s)\right]$ ・・・・(18)

に代入して、式(18)が成り立つように $\alpha$ を調節すればよいのですが、式が複雑になり $\alpha=$ の形で書き下すことが出来ません。それで[tex:0{\le}k

[tex:0{\le}k
- $p(k)=\frac{1-\Omega(GI/G/s)}{\Bigsum_{j=0}^{s-1}\frac{\alpha^j}{j!}}\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(22)
- ただしは
  - $\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)=s\left[u-\Omega(GI/G/s)\right]$ ・・・・(18)
- を満たすように調整する。

ここで「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（３）」の式(12)

$\Omega(GI/G/s)=\frac{u}{b}\Pi(GI/G/s)$ ・・・・(12)

を用いれば

[tex:0{\le}k
- $p(k)=\frac{1-\frac{u}{b}\Pi(GI/G/s)}{\Bigsum_{j=0}^{s-1}\frac{\alpha^j}{j!}}\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(23)
- ただしは
  - $\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)=su\left[1-\frac{1}{b}\Pi(GI/G/s)\right]$ ・・・・(24)
- を満たすように調整する。

これで $p(k)$ の近似値の求め方が明らかになりました。まとめますと

[tex:0{\le}k

$p(k)=\frac{1-\frac{u}{b}\Pi(GI/G/s)}{\Bigsum_{j=0}^{s-1}\frac{\alpha^j}{j!}}\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(23)

ただし $\alpha$ は

$\Bigsum_{k=0}^{s-1}kp(k)=su\left[1-\frac{1}{b}\Pi(GI/G/s)\right]$ ・・・・(24)

を満たすように調整する。

$k{\ge}s$ の場合

$p(k)=g^{k-s}(1-g)\frac{u}{b}\Pi(GI/G/s)$ ・・・・(15)

ただし

$g=\frac{bL_q}{u\Pi(GI/G/s)+bL_q}$ ・・・・(13)

となります。