【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（８）

途中でフランス語が出てくるので、その部分は訳せませんでした。

5　平方根配置
M/D/sの解法を探る過程で巻き込まれたかなり重い解析に気づいて、ErlangとCrommelinとPollaczekは各々若干の近似を開発した。結局、それは現実の電話交換のモデル化についてであり、非明示的に定義された複雑な値の根と無限に多い畳み込みの両方は ―当時では― 理解が容易ではなかった。サーバの数とともに計算負荷が増加したので、近似は大規模システムにとって特に有用であった。Pollaczek, 1930b, 式(84a)、は大きな $s$ について
$D(s,\lambda)=1-\frac{1}{1-\rho}\frac{(\rho{e}^{1-\rho})^s}{\sqrt{2\pi{s}}}(1+O(s^{-1}))$ 　　　　　　(23)
を得た。この近似結果は $\rho$ を一定にしたままサーバの数を増やす時に有用である。Pollaczek 1946 p.28は(23)について以下のようにコメントしている。

Cette formule approximative deviant inutilosable dans le cas le plus important ou, le nombre $s$ des lignes paralleles etant grand, le coefficient de rendement $\rho$ tend vers l'unite, c'est-a-dire ou, pour ungrand faisceau de lignes, l'on tend a approcher de l'etat ideal d'une utilization parfait.

Pollaczekは次に進んで、 $\rho=1-\gamma/\sqrt{s}$ として $\gamma$ を一定にしてシステムを大きくすることを提案した。その場合について彼は
$D(s,\lambda)=\frac{1}{2\pi{i}}\Bigoint_C\log\left(1-e^{z^2/2+\gamma{z}}\right)\frac{dz}{z}+O\left(s^{-1}\right)$ 　　　　　　(24)
を証明した。ただし $C$ は虚数軸の左側にあって平行な直線である。
Pollaczekは多くの場合と同じように彼の時代に先んじていた。スケール拡大 $\rho=1-\gamma/\sqrt{s}$ , $s\rightar\infty$ は今では平方根配置として知られている。それはコールセンター、つまり電話交換の現代での対応物への応用によって大いになじみのあるものになった（Borst他(2004)、Janssen他(2008)参照）。我々がその後使用することになる等価なスケール拡大は $s=\lambda+\beta\sqrt{\lambda}$ と置くことから得られる。パラメータ $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ は密接に関連していて、それは以下から見ることが出来る。
$\frac{1}{2}\alpha^2=s\Bigsum_{n=2}^\infty\frac{(1-\rho)^n}{n}$ , $\beta=\frac{s-\lambda}{\sqrt{\lambda}}$ , $\gamma=\frac{s-\lambda}{\sqrt{s}}=\beta\rho^{\frac{1}{2}}$
大きな値の $s$ については $\alpha\approx\sqrt{s}(1-\rho)=\gamma\approx\beta$ であることに注意しよう。
$s=\lambda+\beta\sqrt{\lambda}$ で $\beta>0$ を固定したM/D/s待ち行列での確率変数 $Q$ を $Q_\lambda$ で示すことにする。(1)から $Q_{\lambda}$ は
$Q_{\lambda}=^d(Q_{\lambda}+A_{\lambda}-s)^+$
を満足することが分かる。ただし $A_{\lambda}$ は今度も平均 $\lambda$ のポアソン確率変数を示す。 $Q_\lambda/\sqrt{\lambda}$ は $\lambda\rightar\infty$ で分布においてドリフト $\beta$ を持つガウシアンランダムウォークの最大値 $M_{\beta}$ に収束することを示すことが出来る（Janssen他(2007)、Jelenkovic他(2004)参照）。ガウシアンランダムウォークは、 $S_0=0$ 、 $S_n=X_1+...+X_n$ で $X_1$ , $X_2$ ,…は独立で平均 $-\beta$ 、分散１の正規分布に従う確率変数であるような過程 $\{S_n:n{\ge}0\}$ によって定義される。とりわけこれは、アーランＤ式の以下の極限の結果を意味する（Jelenkovic他(2004)、Janssen他(2007)）。

系 5.1
$\lim_{\lambda\righar\infty}D\left(\lambda+\beta\sqrt{\lambda},\lambda\right)=P\left(M_{\beta}=0\right)$ ,　　　　 $\beta>0$ 　　　　　　(25)

もし(24)の右辺にある積分が $P\left(M_{\gamma}=0\right)$ であることを認識すればこれもまた(24)から導かれることに注意しよう。Pollaczek (1946)は、(24)を導入した直後に、

et la derniere integrale, qui se rapport a la theorie de la function $\zeta$ de Riemann, peut aisement etre developpee de diverses manieres en serie suivant de simples fonctions de $\gamma$ . C'est ce parameter $\gamma$ qui, pour les grandes valeurs de $s$ , evalue dans quelle mesure l'utilisation d'un groupe de guichets, ou d'un faisceau de lignes mises en parallele, s'approche du cas ideal $\rho=1$ .

と述べている。