ブラウン運動――３．ブラウン運動の微分方程式

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今度は、 $t=0$ の時の点の位置が任意であり、標準偏差が $a\sqrt{t}$ であるようなブラウン運動が満たす微分方程式を求めます。この微分方程式はあとで示すように $t=0$ の時の点の位置が確率密度関数 $p(y,0)$ で与えられる場合にも満足します。

もう一度、前回に考えたランダムウォーク $X(k)$ に戻ります。 $X(k)$ の値が $x$ である確率を $f(x,k)$ で表すことにしていました。式(6)

$f(x,k+1)=\frac{f(x-1,k)+f(x+1,k)}{2}$ ・・・・(6)

から

$f(x,k+1)-f(x,k)=\frac{f(x+1,k)+f(x-1,k)}{2}-f(x,k)$
$f(x,k+1)-f(x,k)=\frac{f(x+1,k)-f(x,k)+f(x-1,k)-f(x,k)}{2}$

よって

$f(x,k+1)-f(x,k)=\frac{1}{2}\{f(x+1,k)-f(x,k)}-{f(x,k)-f(x-1,k)\}$ ・・・・(14)

ここで

$t=\frac{k}{T}$ ・・・・(7)
$y=\frac{ax}{\sqrt{T}}$ ・・・・(8')

とおきます。そして $T\rightar\infty$ にすることでブラウン運動の微分方程式を導き出します。

まず(14)に(7)(8')を代入して

$f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a},Tt+1\right)-f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a},Tt\right)$
$=\frac{1}{2}\left[\left\{f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a}+1,Tt\right)-f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a},Tt\right)\right\}-\left\{f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a},Tt\right)-f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a}-1,Tt\right)\right\}\right]$ ・・・・(15)

ここで

$p(y,t)=f\left(\frac{\sqrt{T}y}{a},Tt\right)$ ・・・・(16)

とおけば、式(15)は

$p\left(y,t+\frac{1}{T}\right)-p(y,t)=\frac{1}{2}\left[\left\{p\left(y+\frac{a}{\sqrt{T}},t\right)-p(y,t)\right\}-\left\{p(y,t)-p\left(y-\frac{a}{\sqrt{T}},t\right)\right\}\right]$ ・・・・(17)

ここでさらに、

$\frac{1}{T}=\Delta{t}$ ・・・・(18)
$\frac{a}{\sqrt{T}}=\Delta{y}$ ・・・・(19)

とおけば

$p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)=\frac{1}{2}[\{p(y+\Delta{y},t)-p(y-\Delta{y},t)\}]$
$\frac{p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)}{\Delta{t}}=\frac{1}{2\Delta{t}}[\{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)\}-\{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)\}]$

よって

$\frac{p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)}{\Delta{t}}=\frac{\Delta{y}^2}{2\Delta{t}}\frac{\frac{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)}{\Delta{y}}-\frac{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)}{\Delta{y}}}{\Delta{y}}$ ・・・・(20)

ここで $T\rightar\infty$ とすると

$\frac{p(y,t+\Delta{t})-p(y,t)}{\Delta{t}}\rightar\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}$
$\frac{\frac{p(y+\Delta{y},t)-p(y,t)}{\Delta{y}}-\frac{p(y,t)-p(y-\Delta{y},t)}{\Delta{y}}}{\Delta{y}}\rightar\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}$

さらに、(18)と(19)から

$\frac{\Delta{y}^2}{2\Delta{t}}=\frac{1}{2}\times\frac{a^2}{T}\times{T}=\frac{a^}{2}$

なので式(20)から

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(21)

となります。
これがブラウン運動 $B(t)$ の確率密度 $p(x,t)$ が満たすべき偏微分方程式になります。

前回「２．ランダムウォークからブラウン運動へ」でお話ししたように、時刻 $t=0$ である点 $y=y_0$ にある点が時刻 $t$ の時に $y$ にいる確率は式(13)

$p(y,t)=\frac{1}{\sqrt{2a\pi{t}}}\exp\left(-\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t}\right)$ ・・・・(13)

で与えられました。これは当然、式(21)を満足するはずです。次にこれを確かめてみます。まず(21)の左辺に式(13)を代入すると

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}=\frac{1}{2}\frac{1}{a\sqrt{2\pi{t}}}\frac{1}{t}\exp\left(-\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t}\right)+\frac{1}{a\sqrt{2\pi{t}}}\left(\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t^2}\exp\left(-\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t}\right)\right)$
$=-\frac{1}{2t}p(y,t)+\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t^2}p(y,t)=\frac{(y-y_0)^2-a^2t}{2a^2t^2}p(y,t)$

次に(21)の右辺に式(13)を代入した結果を求めるためにまず以下を計算します。

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{y}}=-\frac{y-y_0}{a^2t}\frac{1}{a\sqrt{2\pi{t}}}\exp\left(-\frac{(y-y_0)^2}{2a^2t}\right)=-\frac{y-y_0}{a^2t}p(y,t)$

これをさらに $y$ で微分して

$\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}=-\frac{1}{a^2t}p(y,t)+\frac{(y-y_0)^2}{a^4t^2}p(y,t)=\frac{(y-y_0)^2-a^2t}{a^4t^2}p(y,t)$

よって、式(13))が式(21)を満足することが分かります。

ところで式(21)

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(21)

は線形ですから、式(21)のある解と別の解の線形結合も式(21)の解となります。つまり、 $p_1(y,t)$ と $p_2(y,t)$ がともに式(21)を満足するとした場合、 $c_1$ 、 $c_2$ を定数として、 $p_3(y,t)=c_1p_1(y,t)+c_2p_2(y,t)$ を定義すると、 $p_3(y,t)$ も式(21)を満足します。これは

$\frac{\partial{p}_1(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p_1(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(22)
$\frac{\partial{p}_2(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p_2(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(23)

が成り立ち、式(22)の両辺に $c_1$ を掛け、式(23)の両辺に $c_2$ を掛け、この２つの式の両辺を足せば、

$\frac{\partial[c_1p_1(y,t)+c_2p_2(y,t)]}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2[c_1p_1(y,t)+c_2p_2(y,t)]}{\partial{y}^2}$

となり、結局

$\frac{\partial{p}_3(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p_3(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(24)

が成り立つことから分かります。同様に考えて、式(21)を満足する可算無限個の確率密度関数 $p_k(y,t)$ 、ただし $k=1,2,...$ 、と定数 $c_k$ がある場合、

$p(y,t)=\Bigsum_{k=1}^\infty{p}_k(y,t)$

で定義される $p(y,t)$ も式(21)を満足することが分かります。 $t=0$ の時の点の位置が $z_k$ であるような確率密度

$p(y,t,z_k)=\frac{1}{\sqrt{2a\pi{t}}}\exp\left(-\frac{(y-z_k)^2}{2a^2t}\right)$ ・・・・(25)

が式(21)を満足することは先に明らかになっています。すると

$p(y,t)=\Bigsum_{k=1}^\infty{p}(y,t,z_k)$

で定義される $p(y,t)$ も式(21)を満足することが分かります。さらに拡張して任意の関数 $g(z)$ を考え

$p(y,t)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}g(z)p(y,t,z)dz$ ・・・・(26)

で定義される $p(y,t)$ も式(21)を満足することが分かります。ただし $g(z)$ については

$\Bigint_{-\infty}^{\infty}g(z)dz=1$ ・・・・(27)

を満足するという制限をつけておきます。さて、この $g(z)$ は何を意味するのでしょう？　それを明らかにするために $p(y,0,z)$ について考えます。 $t=0$ で点の位置が $z$ に確定しているということは、 $y=z$ の時その確率密度が無限大で $y\neq{z}$ の時確率密度がゼロということになります。さらに確率密度ですから定義域で積分した結果が１にならなければなりません。ということは

$p(y,0,z)=\delta(y-z)$ ・・・・(28)

ということになります。ただし $\delta(y)$ はディラックのデルタ関数です。式(26)から

$p(y,0)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}g(z)p(y,0,z)dz$

ここで式(28)を用いると

$p(y,0)=\Bigint_{-\infty}^{\infty}g(z)\delta (y-z)dz=g(y)$

となります。 $p(y,0)$ は $t=0$ の時の点の確率密度にほかなりませんから $g(z)$ は式(26)で定義した確率密度関数 $p(y,t)$ の $t=0$ の時の確率密度を表していることになります。 $g(z)$ は任意でしたので、よって微分方程式(21)は $t=0$ の時の点の位置が確率密度関数 $p(y,0)$ で与えられる場合のブラウン運動の確率密度関数 $p(y,t)$ の場合にも成り立つことが分かります。