ブラウン運動――４．ドリフトのあるブラウン運動

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前回まで検討してきたブラウン運動は、平均 $y_0$ 、標準偏差 $a\sqrt{t}$ のブラウン運動でした。このブラウン運動は時間 $t$ が経過しても平均が変化しないブラウン運動です。今回は時間 $t$ の経過とともに平均が線形に増えていく（あるいは減っていく）ブラウン運動を検討します。このようなブラウン運動をドリフトのあるブラウン運動と言います。このようなブラウン運動を得るために、座標変換を用いることにします。さて、分かりやすくするために、変換前の座標系を $(t,y)$ 、変換後の座標系を $(\tau,x)$ で表し

$x=y+bt$ ・・・・(29)
$\tau=t$ ・・・・(30)

と置きます。また、座標系 $(t,y)$ で見ると平均が常にゼロで変化しないブラウン運動を考えます。平均の軌跡は $y=0$ で表されます。

図４

これを座標系 $(\tau,x)$ で見ると下の図のように

図５

$x=b\tau$ に変換されます。（ $\tau$ 軸は $x=0$ であるような直線ですから(29)から直線 $y=-bt$ になることに注意しましょう。）　この座標系で見るとブラウン運動の平均は時間の経過とともに等速で移動していく（ドリフトする）ことになります。

では、このブラウン運動が満たす微分方程式を求めていきます。そのために平均が移動しないブラウン運動の式(21)

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}$ ・・・・(21)

を変数 $x$ と $\tau$ で表すことにします。

$q(x,\tau)=p(y,t)$ ・・・・(31)

とおきます。(29)(30)を念頭におけば

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{t}}=\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{t}}+\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial\tau}\frac{\partial\tau}{\partial{t}}=b\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial{x}}+\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial\tau}$ ・・・・(32)

次に

$\frac{\partial{p}(y,t)}{\partial{y}}=\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial{x}}\frac{\partial{x}}{\partial{y}}+\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial\tau}\frac{\partial\tau}{\partial{y}}=\frac{\partial{q}(y,\tau)}{\partial{y}}$ ・・・・(33)

式(33)から

$\frac{\partial^2p(y,t)}{\partial{y}^2}=\frac{\partial^2q(x,\tau)}{\partial{x}^2}$ ・・・・(34)

(32)と(34)を(21)に代入すれば、

$b\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial{x}}+\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial\tau}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2q(x,\tau)}{\partial{x}^2}$
$\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial\tau}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2q(x,\tau)}{\partial{x}^2}-b\frac{\partial{q}(x,\tau)}{\partial{x}}$

ここで改めて $\tau$ を $t$ 、 $q(x,\tau)$ を $p(x,t)$ に変数名を変えると

$\frac{\partial{p}(x,t)}{\partial{t}}=\frac{a^2}{2}\frac{\partial^2p(x,t)}{\partial{x}^2}-b\frac{\partial{p}(x,t)}{\partial{x}}$ ・・・・(35)

これが、平均

$x_0+bt$ ・・・・(36)

標準偏差

$a\sqrt{t}$ ・・・・(37)

であるようなブラウン運動の微分方程式です。ただし $x_0$ は $t=0$ の時の平均の位置です。さきほどは話を簡単にするために座標系 $(t,y)$ での平均の値をゼロにしましたが、式(21)は平均の値が任意の場合に成り立つので $t=0$ の時の平均の位置は任意に定めることが出来ます。

さて、 $b$ が負であれば、このブラウン運動は平均としてだんだんマイナスのほうに移動していくことになります。ここで $x{\ge}0$ という条件をつけてみます。するとブラウン運動は全体としてはマイナス方向に向かうのですがゼロよりマイナス方向には進めません。するとどのようなことが起こるのでしょうか？　実はこの場合、時間の経過で変化しない $p(x,t)$ が存在します。そのことを微分方程式(35)を用いて明らかにします。まず、 $p(x,t)$ は時間の経過で変化しませんから