工場統計力学（建設中！）

重負荷極限定理（２）

待ち行列理論

「重負荷極限定理（１）」のつづきです。
さて、 $u\rightar{1}$ で $t$ はどんどん長くなるのですが、ここで $t$ 軸と $Q$ 軸を縮小することにより、この $Q(t)$ がブラウン運動に近くなっていきます。具体的には

$\tau=(1-u)^2t$ ・・・・(12)

と置き

$x(\tau)=(1-u)Q(t)$ ・・・・(13)

と置きます。こうすると、今まで $t$ が大きな値にならないと $Q(t)$ が正規分布にならなかったことが、 $t$ 軸を無限に縮小することにより $\tau$ 軸の任意の増加について $x(\tau)$ が正規分布になります。このことは $x(\tau)$ がブラウン運動になることを示しています。 $x$ の平均 $m_x$ は式(10)(13)から

$m_x=(1-u)m_Q=(1-u)\left[Q(0)-(1-u)\frac{st}{t_e}\right]=(1-u)Q(0)-\frac{s\tau}{t_e$ ・・・・(14)

となり、 $x$ の分散 $\sigma_x^2$ は(11)(13)から

$\sigma_x^2=(1-u)^2\sigma_Q^2=(1-u)^2(uc_a^2+c_e^2)\frac{s}{t_e}t=(uc_a^2+c_e^2)\frac{s}{t_e}\tau$ ・・・・(15)

となります。ここで「ブラウン運動」の「ドリフトのあるブラウン運動」の式(36)(37)と対比させると

$b=-\frac{s}{t_e}$ ・・・・(16)
$a^2=(uc_a^2+c_e^2)\frac{s}{t_e}$ ・・・・(17)

となることが分かります。「ドリフトのあるブラウン運動」の式(40)によれば、この場合、時間の経過で変化しない $x$ の確率密度 $p(x)$ が存在して、

$p(x)=\frac{2b}{a^2}\exp\left(\frac{2b}{a^2}x\right)$ ・・・・(18)

となることが分かっています。これは指数分布なので確率変数 $x$ の（集合）平均を $E[x]$ で表すと

$E[x]=-\frac{a^2}{2b}$ ・・・・(19)

となります。式(19)に(16)(17)を代入すると

$E[x]=(uc_a^2+c_e^2)\frac{s}{t_e}\times\frac{t_e}{2s}$

よって

$E[x]=\frac{uc_a^2+c_e^2}{2}$ ・・・・(20)

となります。このブラウン運動による待ち行列の $Q(t)$ の挙動の近似は $u\rightar{1}$ の時のみ有効でしたので式(20)は

$\lim_{u\rightar{1}}E[x]=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}$ ・・・・(21)

と書くのがより正確に事態を表しています。

一方、式(13) の $x(\tau)$ と $Q(t)$ は確率変数なので、その集合平均を考えることが出来ます。これを $E[\cdot]$ で表すと

$E[x(\tau)]=(1-u)E[Q(t)]$ ・・・・(22)

となります。ここで待ち行列の定常状態が存在すると仮定すると

$E[x]=(1-u)E[Q]$ ・・・・(23)

となります。ここで $E[Q]$ の意味を考えればそれは平均待ち行列長 $L_q$ にほかなりません。よって

$(1-u)L_q=E[x]$ ・・・・(24)

です。式(21)と(24)から(1)

$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)L_q=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}$ ・・・・(1)

を言うことが出来ます。これで式(1)が証明出来ました。