工場統計力学（建設中！）

無限容量のバッファの場合はそれほど難しくない（３）

待ち行列ネットワークへの助走

「無限容量のバッファの場合はそれほど難しくない（２）」の続きです。
「無限容量のバッファの場合はそれほど難しくない（２）」の最後の式(13)

$p[k,m]=u_1^ku_2^m(1-u_1)(1-u_2)$ ・・・・(13)

は面白い形をしています。式(13)を

$p[k,m]=u_1^k(1-u_1)\cdot{u_2^m}(1-u_2)$ ・・・・(14)

のように変形すると、 $u_1^k(1-u_1)$ の部分は稼働率 $u_1$ のＭ／Ｍ／１待ち行列における定常状態確率です。これを $p(k,u_1)=u_1^k(1-u_1)$ で表わすことにします。すると残りの $u_2^m(1-u_2)$ の部分も $p(m,u_2)=u_2^m(1-u_2)$ と書けることが分かります。よって

$p[k,m]=p(k,u_1)p(m,u_2)$ ・・・・(15)

となります。ここで装置Ａの待ち行列に注目し、 $m$ の値がいくつであるかを考慮せずに、装置Ａでのジョブの数（つまり処理中のジョブの数＋装置Ａを待っているジョブの数）が $k$ である確率を $p[k]$ で表わすことにします。すると、

$p[k]=\Bigsum_{m=0}^{\infty}p[k,m]=p(k,u_1)\Bigsum_{m=0}^{\infty}p(m,u_2)=p(k,u_1)$

よって

$p[k]=p(k,u_1)$ ・・・・(16)

になります。同様にして

$p[m]=p(m,u_2)$ ・・・・(17)

となります。つまり、この工場の待ち行列の定常状態確率は、装置Ａと装置Ｂを独立の待ち行列と考えてもかまわない、ということです。そこで装置Ａ、装置Ｂ別々にＭ／Ｍ／１待ち行列として考えれば、装置Ａでのサイクルタイムは

$\frac{1}{1-u_1}t_{e1}$ ・・・・(18)

となり、装置Ｂでのサイクルタイムは

$\frac{1}{1-u_2}t_{e2}$ ・・・・(19)

となります。よって工場全体のサイクルタイム $CT$ は

$CT=\frac{1}{1-u_1}t_{e1}+\frac{1}{1-u_2}t_{e2}$ ・・・・(20)

となります。ところでスループットは $\lambda$ でした。また、

$u_1=\frac{\lambda}{\mu_1}=\lambda{t}_{e1}$ ・・・・(21)
$u_2=\frac{\lambda}{\mu_2}=\lambda{t}_{e2}$ ・・・・(22)

なので、これらを式(20)に代入するとこの工場におけるスループットとサイクルタイムの関係式が得られます。

$CT=\frac{1}{1-\lambda{t}_{e1}}t_{e1}+\frac{1}{1-\lambda{t}_{e2}}t_{e2}$ ・・・・(23)

これで、当初目的としていた、この工場のスループットとサイクルタイムの関係式を得ることが出来ました。このように図２のような

図２

各装置前のバッファの容量が無限の場合には、その挙動の解析が比較的簡単なのですが、図１

図１

のように、２番目の装置（＝装置B）の前のバッファの容量が有限の場合には、このような解析がうまくいきません。
今度は図１の場合になぜ上記の解析が適用出来ないかを説明します。