バッチ装置の待ち行列の解析（６） - 工場統計力学（建設中！）

「バッチ装置の待ち行列の解析（５）」では状態 $k$ の定常状態確率 $p(k)$ が

$p(0)=\frac{1-au}{1+(2-a)u}$ ・・・・(39)
$p(k)=\frac{2u(1-au)}{1+(2-a)u}(au)^{k-1}$ 　 $k{\ge}1$ ・・・・(40)
ただし
- $a=2$ 　　 $u=0$
- $a=\frac{-1+\sqrt{1+8u}}{2u}$ ・・・・(36)

というふうに求まりました。これからジョブの平均待ち時間 $CT_q$ を求めてみます。まず、平均待ち行列長 $L_q$ を求め、その次にリトルの法則を用いて平均待ち時間を求めることにします。

状態 $k$ の待ちジョブ数は、状態０ではゼロであり、 $k{\ge}1$ の場合 $k-1$ 個であることを考えれば、平均待ち行列長 $L_q$ は、

$L_q=\Bigsum_{k=1}^{\infty}(k-1)p(k)$ ・・・・(41)

で計算出来ることが分かります。これを実行します。式(41)の右辺は

- $=\frac{2u(1-au)}{1+(2-a)u}\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^k=\frac{2u(1-au)}{1+(2-a)u}au\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$

となりますので

$L_q=\frac{2u(1-au)}{1+(2-a)u}au\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$ ・・・・(42)

です。式(42)の右辺の中の

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$

は「補足」を参考にすれば

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}=\frac{1}{(1-au)^2}$

であることが分かるので、式(42)の右辺は

- $=\frac{2au^2}{[1+(2-a)u](1-au)}$

よって

$L_q=\frac{2au^2}{[1+(2-a)u](1-au)}$ ・・・・(43)

これで平均待ち行列長 $L_q$ を求めることが出来ました。

次にリトルの法則を考えることにします。スループットは $1/t_a$ ですが「バッチ装置の待ち行列の解析（１）」の式(5)

$t_a=\frac{t_e}{2u}$ ・・・・(5)

から

$\frac{1}{t_a}=\frac{2u}{t_e}$

なので、リトルの法則は

$L_q=CT_q\times\frac{2u}{t_e}$ ・・・・(44)

と書けます。ここから

$CT_q=L_q\frac{t_e}{2u}$ ・・・・(45)

式(45)に(43)を代入して

$CT_q=\frac{au}{[1+(2-a)u](1-au)}t_e$ ・・・・(46)

これで

装置が空いている時に１ジョブ到着した場合は、１ジョブで処理を開始する。処理が完了した時に１ジョブしか待っていない場合は、１ジョブで処理を開始する。処理が完了した時に２ジョブ以上ある場合は、２ジョブで処理を開始する。

というバッチ構成ルールの時の平均待ち時間を求めることが出来ました。ただし、これはジョブの到着がポアソン到着、装置の処理時間の分布が指数分布の時の式です。

さて、上のバッチ構成ルールをなりゆきバッチルールと名付けることにします。そして、最初に考えた

ジョブが２つ、そろうまで装置が空いていても処理を開始しない。処理は必ず２ジョブで行う。

というバッチ構成ルールを必ずバッチルールと名付けることにします。今、ポアソン到着、指数分布処理時間の場合について両方のルールにおけるジョブの平均待ち時間が得られたわけです。これをグラフにしてみます。すると以下のようなグラフになります。

グラフ２

「なりゆきバッチルール」は稼働率が小さい時には「必ずバッチルール」よりもジョブの平均待ち時間が少なく、稼働率が大きい時にも「必ずバッチルール」とほぼ同等なジョブの平均待ち時間を達成出来るようです。ただし、これはジョブの到着がポアソン到着、装置の処理時間の分布が指数分布の時の結果なので、他の分布の場合にも同様のことが言えるのかどうか分かりません。