バッチ装置の待ち行列の解析（１０） - 工場統計力学（建設中！）

「バッチ装置の待ち行列の解析（９）」のつづきです。ここから先に進むためには、２ジョブバッチ、「なりゆきバッチルール」の場合の重負荷極限定理を導き出す必要があります。「重負荷極限定理（１）〜（２）」の考察に沿って、２ジョブバッチ、「なりゆきバッチルール」の場合の重負荷極限定理を導き出します。なお、装置の台数は１台とします。

待ちジョブが１よりかなり多くある状態が続く期間が時刻0から $t$ まであったとします。時刻0からその期間内の任意の時刻 $r$ までに到着したジョブの数を $A(r)$ で表すことにします。また、時刻0からその期間内の任意の時刻 $r$ までに処理が開始されたジョブの数を $D(r)$ で表すことにします。 $u\rightar{1}$ になると $t$ がどんどん長くなります。その場合 $A(t)$ と $D(t)$ の分布はそれぞれどうなるでしょうか？
ジョブの到着分布はＧＩなので各間隔の確率が独立です。このため「確率変数の和の個数の分布について」で述べたことが適用出来て、 $A(t)$ は正規分布に近づくことが言えます。そして $A(t)$ の平均 $m_A$ は、ジョブの到着間隔の平均を $t_a$ とすると「確率変数の和の個数の分布について」の最後に述べたことから

$m_A=n_a$ ・・・・(61)

となり、「確率変数の和の個数の分布について」の式(9)により $n_a=t/t_a$ となるので

$m_A=\frac{t}{t_a}$ ・・・・(62)

となります。 $A(t)$ の標準偏差 $\sigma_A$ は、ジョブの到着間隔の標準偏差を $\sigma_a$ で表すと「確率変数の和の個数の分布について」の最後に述べたことから

$\sigma_A=\sqrt{n_a}\frac{\sigma_a}{t_a}$

よって

$\sigma_A=\frac{\sigma_a}{t_a}\sqrt{\frac{t}{t_a}}$ ・・・・(63)

となります。

一方処理が開始されたジョブ数 $D(t)$ については、時刻ゼロから $t$ まで装置 $k$ は常に２ジョブで処理中です。よってジョブの処理開始という現象も、前に処理開始が起きた時刻からある確率分布に従う時間後に次の処理開始があり、かつ、その確率分布は変わらない、ということが言えます。よって、「確率変数の和の個数の分布について」で述べたことが適用出来て、 $D(t)$ は正規分布に近づくことが言えます。さて $D(t)$ の平均 $m_D$ は、処理時間の平均を $t_e$ とすると、１回の処理開始で２ジョブが一度に処理開始されることを考慮すれば

$m_D=\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(64)

となります。 $D$ の標準偏差 $\sigma_D(k)$ は、処理時間の標準偏差を $\sigma_e$ で表すと「確率変数の和の個数の分布について」の最後に述べたことと、１回の処理開始で２ジョブが一度に処理開始されることを考慮すれば

$\sigma_D=\frac{2\sigma_e}{t_e}\sqrt{\frac{t}{t_e}}$ ・・・・(65)

となります。 $u\rightar{1}$ で $D(t)$ は式(64)で与えられる平均と式(65)で与えられる標準偏差を持つ正規分布に近づきます。

さて、時刻ゼロの時の待ちジョブ数、つまり待ち行列長を $Q(0)$ で表し、時刻 $t$ の時の待ち行列長を $Q(t)$ で表します。すると

$Q(t)=Q(0)+A(t)-D(t)$ ・・・・(66)

となります。では、 $u\rightar{1}$ になった時の $Q(t)$ の分布はどうなるでしょうか？　 $Q(0)$ は定数であり、 $A(t)$ 、 $D(t)$ はそれぞれ正規分布に従う確率変数でした。さらに、待ちジョブがある限りジョブの到着とジョブの処理開始は独立に発生するので、 $A(t)$ と $D(t)$ は独立です。よって $Q(t)$ もまた $u\rightar{1}$ で正規分布に近づきます。では $u\rightar{1}$ の時の $Q(t)$ の平均 $m_Q$ と標準偏差 $\sigma_Q$ はどうなるでしょうか？　式(66)(62)(64)から

$m_Q=Q(0)+m_A-m_D=Q(0)+\left(\frac{1}{t_a}-\frac{2}{t_e}\right)t=Q(0)+\left(\frac{t_e}{2t_a}-1\right)\frac{2t}{t_e}$

ここで「バッチ装置の待ち行列の解析（４）」の

$u=\frac{t_e}{2t_a}$ ・・・・(2)

を用いれば

$m_Q=Q(0)-(1-u)\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(67)

また式(66)(63)(65)から

$\sigma_Q^2=\sigma_A^2+\sigma_D^2=\frac{\sigma_a^2}{t_a^2}\cdot\frac{t}{t_a}+\frac{4\sigma_e^2}{t_e^2}\cdot\frac{t}{t_e}=c_a^2\frac{t}{t_a}+4c_e^2\frac{t}{t_e}=\left(c_a^2\frac{t_e}{2t_a}+2c_e^2\right)\frac{2t}{t_e}$

よって

$\sigma_Q^2=(uc_a^2+2c_e^2)\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(68)

となります。

さて、 $u\rightar{1}$ で $t$ はどんどん長くなるのですが、ここで $t$ 軸と $Q$ 軸を縮小することにより、この $Q(t)$ がブラウン運動に近くなっていきます。具体的には

$\tau=(1-u)^2t$ ・・・・(69)

と置き

$x(\tau)=(1-u)Q(t)$ ・・・・(70)

と置きます。こうすると、今まで $t$ が大きな値にならないと $Q(t)$ が正規分布にならなかったことが、 $t$ 軸を無限に縮小することにより $\tau$ 軸の任意の増加について $x(\tau)$ が正規分布になります。このことは $x(\tau)$ がブラウン運動になることを示しています。 $x$ の平均 $m_x$ は式(67)(70)から