工場統計力学（建設中！）

バッチ装置の待ち行列の解析（１４）

工場運用

では、いままの考察を３ジョブ以上のバッチの場合に拡張することを検討します。まず、「バッチ装置の待ち行列の解析（１０）」で考察した２ジョブバッチ、「なりゆきバッチルール」の場合の重負荷極限定理が容易に拡張できます。 $n$ ジョブで１バッチの場合を考えて「バッチ装置の待ち行列の解析（１０）」で行った考察に沿って考察を進めますと、式(64)

$m_D=\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(64)

のところが

$m_D=\frac{nt}{t_e}$ ・・・・(91)

になります。同様に

$\sigma_D=\frac{2\sigma_e}{t_e}\sqrt{\frac{t}{t_e}}$ ・・・・(65)

が

$\sigma_D=\frac{n\sigma_e}{t_e}\sqrt{\frac{t}{t_e}}$ ・・・・(92)

になります。また、稼働率 $u$ は

$u=\frac{t_e}{nt_a}$ ・・・・(93)

になります。よって式(67)

$m_Q=Q(0)-(1-u)\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(67)

は

$m_Q=Q(0)-(1-u)\frac{nt}{t_e}$ ・・・・(94)

になり、式(68)

$\sigma_Q^2=(uc_a^2+2c_e^2)\frac{2t}{t_e}$ ・・・・(68)

は

$\sigma_Q^2=(uc_a^2+nc_e^2)\frac{nt}{t_e}$ ・・・・(95)

になります。この結果、式(73)(74)

$b=-(1-u)\frac{2}{t_e}$ ・・・・(73)
$a^2=(1-u)(uc_a^2+2c_e^2)\frac{2}{t_e}$ ・・・・(74)

が

$b=-(1-u)\frac{n}{t_e}$ ・・・・(96)
$a^2=(1-u)(uc_a^2+nc_e^2)\frac{n}{t_e}$ ・・・・(97)

になり、最終的に式(82)

$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)L_q=\frac{c_a^2+2c_e^2}{2}$ ・・・・(82)

が

$\lim_{u\rightar{1}}(1-u)L_q=\frac{c_a^2+nc_e^2}{2}$ ・・・・(98)

となります。これが、 $n$ ジョブバッチ、「なりゆきバッチルール」の場合の重負荷極限定理になります。ここから「バッチ装置の待ち行列の解析（１１）」と同じ考察を行うと

$L_q(GI/G/1;c_a,c_e,u)\approx\frac{c_a^2+nc_e^2}{n+1}L_q(M/M/1;u)$ ・・・・(99)

という近似式を（形式的に）得ることが出来ます。さらに、リトルの法則を適用します。スループットが $\frac{nu}{t_e}$ であることに気を付ければ

$L_q=CT_q\frac{nu}{t_e}$ ・・・・(100)

なので式(99)から

$CT_q(GI/G/1;c_a,c_e,u)\approx\frac{c_a^2+nc_e^2}{n+1}CT_q(M/M/1;u)$ ・・・・(101)

となります。

よってあとはM/M/1の場合の $L_q(M/M/1;u)$ または $CT_q(M/M/1;u,t_e)$ を求めることが課題になります。