Ｍ／Ｇ／ｓ／ｓ待ち行列への考察（１）

「Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（３）」の続きです。
Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列では、定常状態確率分布がサーバのサービス時間分布の形に依存せず、トラフィック強度（サーバの稼働率と書きたいところですが、待ち行列長が有限で、ジョブが到着した際に待ちスペースに空きがない場合にはそのジョブはどこかへ行ってしまう、という仮定の下ではは稼働率にはなりません）のみの関数になる、ということが明らかになりました。そこで次に私が考えたのは、ひょっとしてＭ／Ｇ／ｓ／ｓ待ち行列でも定常状態確率分布が、サーバのサービス時間分布に依存しないのではないか、ということです。

ところがこれを証明しようとしてもうまくいきませんでした。たとえば一番簡単なＭ／Ｇ／２／２待ち行列を考えます。これはサーバが２台あって、２台とも処理中の場合はもうジョブを受け付けないような待ち行列です。これを「Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（３）」と同様に考察してみます。
まず、到着間隔分布が指数分布なのでPASTAが成り立ちます。ということはジョブが到着した時、Ｍ／Ｇ／２／２待ち行列にジョブがゼロ個である確率は、定常状態確率と同じになります。ジョブが到着した時、Ｍ／Ｇ／２／２待ち行列にジョブが１個である確率は同様にになります。次に、このシステムにジョブが到着するのは単位時間あたり

• 

なので、単位時間あたり、状態０から状態１への遷移が発生する回数は

• ・・・・(1)

単位時間あたり、状態１から状態２への遷移が発生する回数は

• ・・・・(2)

となります。定常状態では、状態０→１の遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均は、状態１→０の遷移が単位時間あたりに発生する回数と等しくなければならず、また、状態１→２の遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均は、状態２→１の遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均と等しくなければなりません。

ここで、状態１→０の遷移、あるいは、状態２→１の遷移、が単位時間あたりに発生する回数が分かればよいのですが、状態１→０の場合、Ｍ／Ｇ／１／１のときとは異なり「状態０→１の遷移が発生してから平均後に状態１→０の遷移が起きる」とは必ずしも言えません。それは状態１→２の遷移が発生する可能性があるからです。次に状態２→１の遷移について考えると、状態１→２の遷移が起きてから平均後に２つの処理終了が起きることは言えますが、１つ目の処理終了が平均どれだけ後に起きるかが分かりません。このため、Ｍ／Ｇ／１／１のような証明は出来ません。