Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（１） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｄ／１／２待ち行列」を書いていて、その書いた内容がＭ／Ｇ／１／２の場合にも拡張出来ることに気づきました。それをここに書きます。

Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列の定常状態確率を求めることを考えます。まず、サービス終了時のシステム内のジョブ数に注目します。この時、サービスを終了したジョブはジョブ数に含めません。そうするとジョブ数は１の時とゼロの時があります。それぞれの確率を $p'(1)$ 、 $p'(0)$ で表わします。

あるサービス後にジョブが０個の場合、以下の２つの場合が考えられます。

前のサービス後にジョブが０個で、しばらくサーバが空いており、その後次にジョブが到着してサービス時間の間、ジョブの到着がなかった。
前のサービス後にジョブが１個で、そのジョブのサービス時間の間、ジョブの到着がなかった。

サービス時間の間、ジョブが到着しない確率を $A$ とします。定常状態であることを考えると上の考察から

$p'(0)=p'(0)A+p'(1)A$

よって

$p'(0)=A\left[p'(0)+p'(1)\right]$ ・・・・(1)

となります。ところでサービス終了後のジョブ数としては１の場合とゼロの場合しかありません。よって

$p'(0)+p'(1)=1$ ・・・・(2)

です。式(1)(2)から

$p'(0)=A$ ・・・・(3)

です。式(3)(2)から

$p'(1)=1-A$ ・・・・(4)

となります。

「Ｍ／Ｇ／ｓ／ｎの定常状態のジョブ数分布について」で述べたことから

$p(0)=p'(0)(1-p(2))$
$p(1)=p'(1)(1-p(2))$

なので式(3)(4)から

$p(0)=A(1-p(2))$ ・・・・(5)
$p(1)=(1-A)(1-p(2))$ ・・・・(6)

が成り立ちます。ここで「Ｍ／Ｇ／１／ｎ待ち行列のp(0)とp(n)の関係」で述べたことから

$u(1-p(2))=1-p(0)$ ・・・・(7)

が成り立ちます。式(7)から

$1-p(2)=\frac{1-p(0)}{u}$ ・・・・(8)

式(8)を式(5)の右辺に代入して

$p(0)=\frac{A(1-p(0))}{u}$
$up(0)=A-Ap(0)$
$(A+u)p(0)=A$

よって

$p(0)=\frac{A}{A+u}$ ・・・・(9)

となります。式(8)を式(6)の右辺に代入して

$p(1)=(1-A)\frac{1-p(0)}{u}$ ・・・・(10)

式(10)に(9)を代入して

$p(1)=(1-A)\frac{1-\frac{A}{A+u}}{u}$
$p(1)=(1-A)\frac{A+u-A}{u(A+u)}$
$p(1)=(1-A)\frac{u}{u(A+u)}$

よって

$p(1)=\frac{1-A}{A+u}$ ・・・・(11)

となります。式(7)に(9)を代入して

$u(1-p(2))=1-\frac{A}{A+u}$
$u(1-p(2))=\frac{u}{A+u}$
$1-p(2)=\frac{1}{A+u}$

よって

$p(2)=1-\frac{1}{A+u}$ ・・・・(12)

となります。あとは $A$ を求めることが出来れば $p(0)$ 、 $p(1)$ 、 $p(2)$ の値を求めることが出来ます。

$A$ は以下のようにして求めます。ジョブの到着間隔はポアソン分布（Ｍ）ですから到着間隔の平均値を $t_a$ とすれば到着間隔が $t$ である確率分布（確率密度関数） $f(t)$ は

$f(t)=\frac{1}{t_a}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)$ ・・・・(13)

となります。 $t_1$ の間ジョブが到着しない確率 $A(t_1)$ は

- $=\exp\left(-\frac{t_1}{t_a}\right)$

よって

$A(t_1)=\exp\left(-\frac{t_1}{t_a}\right)$ ・・・・(14)

となります。サービス時間の確率分布を $g(t)$ で表すことにします。サービス時間の間ジョブが到着しない確率 $A$ は

$A=\Bigint_0^{\infty}A(t)g(t)dt$ ・・・・(15)

となります。式(15)に(14)を代入して

$A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt$ ・・・・(16)

です。この式によって $A$ を求め、それを式(9)(11)(12)

$p(0)=\frac{A}{A+u}$ ・・・・(9)
$p(1)=\frac{1-A}{A+u}$ ・・・・(11)
$p(2)=1-\frac{1}{A+u}$ ・・・・(12)

に代入することにより、Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列の定常状態確率分布を求めることが出来ます。