Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（２）

待ち行列理論

では、「Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（１）」で求めた

  • p(0)=\frac{A}{A+u}・・・・(9)
  • p(1)=\frac{1-A}{A+u}・・・・(11)
  • p(2)=1-\frac{1}{A+u}・・・・(12)
  • ただし
    • A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt・・・・(16)

が本当に正しいのか、Ｍ／Ｄ／１／２待ち行列の場合とM/E_2/1/2待ち行列の場合について確かめてみます。まず、Ｍ／Ｄ／１／２の場合です。


Ｍ／Ｄ／１／２の場合、サービス時間の分布g(t)は

  • g(t)=\delta(t-t_e)・・・・(17)

となります。ここで\delta(t)はディラックの超関数で、

  • t\neq{0}の時
    • \delta(t)=0
  • \Bigint_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1

となるような関数（の極限）です。またt_eはサービス時間（この場合は固定の値）です。式(16)に(17)を代入すると

  • A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)\delta(t-t_e)dt
  • A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t_e}{t_a}\right)\delta(t-t_e)dt
  • A=\exp\left(-\frac{t_e}{t_a}\right)\Bigint_0^{\infty}\delta(t-t_e)dt

よって

  • A=\exp\left(-\frac{t_e}{t_a}\right)・・・・(18)

ところで

  • u=\frac{t_e}{t_a}

なので式(18)は

  • A=e^{-u}・・・・(19)

となります。これを式(9)(11)(12)に代入すると

  • p(0)=\frac{e^{-u}}{e^{-u}+u}
  • p(1)=\frac{1-e^{-u}}{e^{-u}+u}
  • p(2)=1-\frac{1}{e^{-u}+u}

となり、「Ｍ／Ｄ／１／２待ち行列」の式(13)(14)(12)と同じになります。これでＭ／Ｄ／１／２の時に式(9)(11)(12)(16)が正しいことが分かりました。