工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（３）

待ち行列理論

では次に「Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（１）」で求めた

$p(0)=\frac{A}{A+u}$ ・・・・(9)
$p(1)=\frac{1-A}{A+u}$ ・・・・(11)
$p(2)=1-\frac{1}{A+u}$ ・・・・(12)
ただし
- $A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt$ ・・・・(16)

が $M/E_2/1/2$ 待ち行列の場合に正しいのか確かめてみます。

この場合サービス時間分布が２次のアーラン分布なので「アーラン分布」の式(1)に $k=2$ を代入して

$g(t)=\lambda^2t\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(20)

と書くことが出来ます。この分布の場合、「アーラン分布」の式(10)に示したようにサービス時間の平均値は

$\frac{2}{\lambda}$

なので、サービス時間の平均値を $t_e$ とすると

$t_e=\frac{2}{\lambda}$

よって

$\lambda=\frac{2}{t_e}$ ・・・・(21)

となります。式(21)を(20)に代入して

$g(t)=\frac{4}{t_e^2}t\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)$ ・・・・(22)

となります。これを式(16)に代入すると

$A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)\frac{4}{t_e^2}t\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)dt$
$A=\frac{4}{t_e^2}\Bigint_0^{\infty}t\exp\left(-\left[\frac{1}{t_a}+\frac{2}{t_e}\right]t\right)dt$
$A=\frac{4}{t_e^2}\Bigint_0^{\infty}t\exp\left(-\left[\frac{t_e}{t_a}+2\right]\frac{t}{t_e}\right)dt$ ・・・・(23)

ここで

$u=\frac{t_e}{t_a}$

なので式(23)は

$A=\frac{4}{t_e^2}\Bigint_0^{\infty}t\exp\left(-\frac{u+2}{t_e}t\right)dt$ ・・・・(24)

となります。ここで「アーラン分布」の式(4)（ここでは数を振り直して式(25)とします）

$\Bigint_0^{\infty}t^k\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k!}{\lambda^{k+1}}$ ・・・・(25)

を用いると

$A=\frac{4}{t_e^2}\frac{1}{\left(\frac{u+2}{t_e}\right)^2}$

よって

$A=\frac{4}{(u+2)^2}$ ・・・・(26)

となります。式(26)を(9)に代入して

$p(0)=\frac{\frac{4}{(u+2)^2}}{\frac{4}{(u+2)^2}+u}$
$p(0)=\frac{4}{4+u(u+2)^2}$

よって

$p(0)=\frac{4}{u^3+4u^2+4u+4}$ ・・・・(27)

次に式(11)に(26)を代入して

$p(1)=\frac{1-\frac{4}{(u+2)^2}}{\frac{4}{(u+2)^2}+u}$
$p(1)=\frac{(u+2)^2-4}{4+u(u+2)^2}$
$p(1)=\frac{u^2+4u}{u^3+4u^2+4u+4}$

よって

$p(1)=\frac{u(u+4)}{u^3+4u^2+4u+4}$ ・・・・(28)

次に式(12)に(26)を代入して

$p(2)=1-\frac{1}{\frac{4}{(u+2)^2}+u}$
$p(2)=1-\frac{(u+2)^2}{4+u(u+2)^2}$
$p(2)=1-\frac{(u+2)^2}{u^3+4u^2+4u+4}$
$p(2)=\frac{u^3+4u^2+4u+4-u^2-4u-4}{u^3+4u^2+4u+4}$
$p(2)=\frac{u^3+3u^2}{u^3+4u^2+4u+4}$

よって

$p(2)=\frac{u^2(u+3)}{u^3+4u^2+4u+4}$ ・・・・(29)

式(27)(28)(29)は「Ｍ／E2／１／２待ち行列」の式(10)(11)(12)と一致します。よって $M/E_2/1/2$ の時にも式(9)(11)(12)(16)が正しいことが分かりました。