Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（４） - 工場統計力学（建設中！）

$p(0)=\frac{A}{A+u}$ ・・・・(9)
$p(1)=\frac{1-A}{A+u}$ ・・・・(11)
$p(2)=1-\frac{1}{A+u}$ ・・・・(12)
ただし
- $A=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt$ ・・・・(16)

がＭ／Ｄ／１／２の場合と $M/E_2/1/2$ の場合に正しいことを「Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（２）」と「Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列（３）」で見てきましたが、上の式は(16)で積分を計算しなければならない点が面倒です。それでもっとよい式がないか考えてみます。その際、正確な式ではなくて近似式でもよいとします。

ジョブ数の制限がない時のＭ／Ｇ／１待ち行列の定常状態確率の近似式は「Ｍ／Ｇ／１の定常状態分布の近似式」で見たように変数は $u$ 、 $c_e$ だけでした。Ｍ／Ｇ／１／２待ち行列での同じことが成り立つと仮定します。そこである平均 $t_e$ と変動係数 $c_e$ を持つサービス分布をアーラン分布で近似することにします。ただしアーラン分布の変動係数は離散の値しか取り得ないので、まずは変動係数がその値である分布しか考えないことにします。 $k$ 次のアーラン分布の確率密度関数は「アーラン分布」の式(1)（ここでは番号を振り直して式(30)とします）

$g(t)=\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(30)

です。この分布を持つサービス時間の平均値 $t_e$ は「アーラン分布」の式(10)より

$t_e=\frac{k}{\lambda}$ ・・・・(31)

変動係数 $c_e$ は「アーラン分布」の式(14)より

$c_e=\frac{1}{\sqrt{k}}$ ・・・・(32)

となります。式(31)から

$\lambda=\frac{k}{t_e}$ ・・・・(33)

式(33)を(30)に代入して

$g(t)=\frac{k^kt^{k-1}}{t_e^k(k-1)!}\exp\left(-\frac{kt}{t_e}\right)$ ・・・・(34)

式(34)を(16)に代入して

- $=\frac{k^k}{t_e^k(k-1)!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)\exp\left(-\frac{kt}{t_e}\right)dt$
- $=\frac{k^k}{t_e^k(k-1)!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left(-\frac{t}{t_a}-\frac{kt}{t_e}\right)dt$

よって

$A=\frac{k^k}{t_e^k(k-1)!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left[-\left(\frac{t_e}{t_a}+k\right)\frac{t}{t_e}\right]dt$ ・・・・(35)

ここで

$u=\frac{t_e}{t_a}$

なので式(35)は

$A=\frac{k^k}{t_e^k(k-1)!}\Bigint_0^{\infty}t^{k-1}\exp\left(-(u+k)\frac{t}{t_e}\right)dt$ ・・・・(36)

ここで「アーラン分布」の式(4)（ここでは数を振り直して式(25)とします）

$\Bigint_0^{\infty}t^k\exp(-\lambda{t})dt=\frac{k!}{\lambda^{k+1}}$ ・・・・(25)

を用いれば式(36)は

- $=\frac{k^k}{t_e^k(k-1)!}\cdot\frac{(k-1)!t_e^k}{(u+k)^k}$
- $=\frac{k^k}{(u+k)^k}$

よって

$A=\frac{k^k}{(u+k)^k}$ ・・・・(37)

一方、式(32)から

$k=\frac{1}{c_e^2}$ ・・・・(38)

式(38)を(37)に代入して

$A=\frac{1}{\left[c_e^2\left(u+\frac{1}{c_e^2}\right)\right]^{1/c_e^2}}$

よって

$A=\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(39)

これを $A$ の近似値とします。 $c_e$ は式(32)で規定される離散の値しか取りませんが、式(39)では $c_e$ は任意の値を取るとしてこの近似値を使用します。しかし $c_e=0$ では式(39)の中の $1/c_e^2$ が計算出来なくなるので、この場合だけ「Ｍ／Ｄ／１／２待ち行列」の式(13)(14)(12)を用いて

$p(0)=\frac{e^{-u}}{e^{-u}+u}$ ・・・・(40)
$p(1)=\frac{1-e^{-u}}{e^{-u}+u}$ ・・・・(41)
$p(2)=1-\frac{1}{e^{-u}+u}$ ・・・・(42)

とします。
式(39)を式(9)に代入して

$p(0)=\frac{\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}}{{\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}+u}$

よって

$p(0)=\frac{1}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(43)

式(39)を式(11)に代入して

$p(1)=\frac{1-\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}}{\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}+u}$

よって

$p(1)=\frac{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}-1}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(44)

式(39)を式(12)に代入して

$p(2)=1-\frac{1}{\frac{1}{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}+u}$

よって

$p(2)=1-\frac{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(45)

まとめると

の時
- $p(0)=\frac{e^{-u}}{e^{-u}+u}$ ・・・・(40)
- $p(1)=\frac{1-e^{-u}}{e^{-u}+u}$ ・・・・(41)
- $p(2)=1-\frac{1}{e^{-u}+u}$ ・・・・(42)
の時
- $p(0)=\frac{1}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(43)
- $p(1)=\frac{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}-1}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(44)
- $p(2)=1-\frac{(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}{1+u(c_e^2u+1)^{1/c_e^2}}$ ・・・・(45)

です。