ガンマ関数（２）

確率論

「ガンマ関数」の補足です。

  • \Gamma(x)=\Bigint_0^{\infty}s^{x-1}e^{-s}ds・・・・(1)

で定義されるガンマ関数は、xが自然数の場合は、

  • \Gamma(x)=(x-1)!・・・・(7)

となるのは「ガンマ関数」の式(2)で示しましたが、ここでは\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)の値を求めます。定義式(1)から

  • \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\Bigint_0^{\infty}s^{-1/2}\exp(-s)ds・・・・(8)

ここでs=t^2とおきます。するとds=2tdt。よって式(8)は

  • \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\Bigint_0^{\infty}t^{-1}\exp(-t^2)\cdot{2}tdt
  • \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=2\Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt・・・・(9)

ここで

  • \Bigint_0^{\infty}\exp(-t^2)dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}・・・・(10)

なので、式(9)は

  • \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}・・・・(11)

となります。


ところで「ガンマ関数」で示した

  • \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)・・・・(6)

を使うと

  • \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
  • \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)=\Gamma\left(\frac{3}{2}+1\right)=\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi}}{4}

などを求めることが出来ます。